Prove que dados a, m, n constantes mostre que existem A e B tais que:

(m * x + n) / (x - a)^2 = A / (x - a) + B / (x - a)^2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão é muito bacana!!! Tem como objetivo nos ensinar uma técnica de integração por partes e para isso precisamos provar que podemos decompor m x   +   n   ( x - a ) 2 como soma de duas frações espertas.

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é encontrar A   e   B tais que

m x   +   n   ( x - a ) 2   = A x - a   +   B ( x - a ) 2  

Como podemos começar a provar isso? O que vocês acham?

Geralmente quando queremos mostrar que duas coisas são iguais podemos partir do lado mais fácil. Nesse caso vamos começar manipulando o lado direito da igualdade.

m x   +   n   ( x - a ) 2   = A x - a   +   B ( x - a ) 2  

Passo 3

Desenvolvendo a equação temos:

m x   +   n   ( x - a ) 2   = A x - a   +   B ( x - a ) 2  

tirando o mmc

⇒ m x   +   n   ( x - a ) 2   = A ( x - a ) ( x - a ) 2   +   B ( x - a ) 2  

⇒ m x   +   n   = A ( x - a )   +   B  

⇒ m x   +   n   = A x - A a   +   B  

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômio em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

m   = A

e

  n   =   - A a   +   B

E com isso conseguimos mostrar que existem A   e   B que satisfazem a equação

m x   +   n   ( x - a ) 2   = A x - a   +   B ( x - a ) 2

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

Desenvolvimento acima.

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