USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 42
Calcule as integrais indefinidas abaixo
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui
Mas como resolver ela?
Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais! Mas não é exatamente o que temos! Então pra isso vamos dividir o de cima pelo de baixo para depois aplicar frações parciais!
Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!
Beleza?
É isso! Bora lá?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar dividindo o de cima pelo de baixo:
Para isso vamos somar e subtrair no numerador
Fazendo a simplificação temos
Integrando esse primeiro termo temos
Beleza?
Passo 3
Nosso próximo passo é encontrar a decomposição em frações parciais daquele outro termo! Vamos separar em dois termos pois é a fatoração do denominador
Beleza? Fazendo o temos
E separando nos termos de mesma ordem
Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema triplo:
Resolvendo esse sistema vamos encontrar os seguintes valores para :
E nossa integral vira três!
Passo 4
Agora vamos integrar! A primeira é mais tranquila:
A segunda também (usando substituição simples):
Chamando temos
Retornando para temos
E por fim a terceira
Vamos fazer a mesma reescrita do denominador em soma de quadrados
E usar a mesma substituição da segunda! e ficamos com a integral do arco tangente!
Agora vamos reunir todos os resultados! Dos passos e
Não esquece de colocar o no final!
Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!