Exercícios de Álgebra Linear e Geometria Analítica - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
$(Vale 3,0 pontos) Sabendo que
é uma transformação linear definida por
.
a) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do
.
Ver solução completaa) (Vale I,0 ponto) Determine uma base do
Questão 3
Considere o conjunto
, onde
e
são vetores em
, e
é a unidade imaginária.
(a) Mostre que
é linearmente dependente sobre o corpo dos números complexos
.
(b) Mostre que
é linearmente independente sobre o corpo dos números reais
.
Ver solução completa(a) Mostre que
(b) Mostre que
Questão 4
Determine a dimensão dos seguintes subespaços de
:
(O subespaço das matrizes simétricas)
Ver solução completaQuestão 5
Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços. Em caso afirmativo, determine a base e a dimensão de W.
e
e
Ver solução completaQuestão 6
Seja
uma curva parametrizada regular dada por
de modo que
a) Determine as possíveis formas de
.
b) Que tipo de curva é C.
Ver solução completab) Que tipo de curva é C.
Questão 7
Classifique a equação
ou
acima em circunferência, elipse, hipérbole, parábola, escreva-a na sua forma canônica reduzida.
Ver solução completaQuestão 10
Seja
o operador identidade (ou seja,
para todo
) e considere uma base
de
. Determine a matriz
que representa o operador
em relação à base
.
Ver solução completaQuestão 14
Sejam as variáveis aleatórias
e
, onde
e
. Obtenha a matriz de variância e covariância de
e verifique que é positiva semi definida.
Ver solução completaQuestão 15
Use operações elementares para reduzir a matriz dada às formas (i) escalonada por linhas e (ii) escalonada reduzida por linhas
©
Ver solução completa©
Questão 17
Seja
uma matriz quadrada de ordem 2. Mostre que se
para toda matriz quadrada
de ordem 2, então existe
tal que
, onde
é a matrix identidade de ordem 2 .
Ver solução completaQuestão 19
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(e)
;
Ver solução completa(e)
Questão 22
Considere o plano
e
a transformação linear dado por
.
(a) Encontre uma base
ortogonal de
com
.
(b) Determine
, onde
. Além disso, calcule
, onde
é a base canônica do
. Por que essa matriz é simétrica?
Ver solução completa(a) Encontre uma base
(b) Determine
Questão 23
Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos sistemas (método de Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíveis.
f)
Ver solução completaf)
Questão 24
Calcule o valor de
para que os pares de retas abaixo sejam coplanares.
Ver solução completaQuestão 25
Considere as bases
e
do
, e a transformaçào linear
tal que
.
Determine
.
Ver solução completaDetermine
Questão 27
Os vetores
e
são perpendiculares entre si e o vetor
é tal que
. Sabendo-se que
e
, calcule o produto interno:
.
Ver solução completaQuestão 29
Ache os auto-valores do operador
, seus sub-espaços próprios e as multiplicidades algébrica e geométrica:
a)
b)
c)
d)
Ver solução completaa)
b)
c)
d)
Questão 30
Dada a equação
, complete o quadrado para identificar o tipo de quadrica e suas propriedades.**
Ver solução completaQuestão 31
(UFPA-1990) J oão comprou 5 litros de vinho branco e 12 litros de vinho tinto, pagando um total de
. se o litro do vinho branco é
mais caro que o litro do vinho tinto, então o litro do vinho tinto e do branco custam respectivamente:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
e)
e
Ver solução completaa)
b)
c)
d)
e)
Questão 32
Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
A transformação
, só é linear se
.
Ver solução completaA transformação
Questão 33
(a)
é um espaço vetorial que tem um vetor nalo-nulo, quantos vetores tem
?
(b) Descreva todos os espaços vetoriais que têm um nümero finito de vetores.
Ver solução completa(b) Descreva todos os espaços vetoriais que têm um nümero finito de vetores.
Questão 35
Dado um triângulo
, prove que as coordenadas do seu baricentro são dadas por
.
Ver solução completaQuestão 36
Escreva as equações das seguintes hipérboles: As assíntotas são
e o ponto
pertence à hipérbole.
Ver solução completaQuestão 37
Marque todas as opções para as coordenadas polares do ponto em que suas coordenadas cartesianas são
.
Ver solução completaQuestão 38
Considere os vetores
(b) Escreva o vetor
como combinação linear dos vetores
.
Ver solução completa(b) Escreva o vetor
Questão 39
Um asteroide entra na atmosfera terrestre. Considerando um sistema de coordenadas retangulares com origem num ponto
da superfície da terra, onde existe um armamento capaz de destruir o asteroide, temos que a trajetória do asteroide é descrita por
.
(a) Prove que um míssil saindo do armamento com direção
intersecta a trajetória do asteroide.
Ver solução completa(a) Prove que um míssil saindo do armamento com direção
Questão 40
Verificar quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais do
:
a.
;
b.
e
;
c.
.
Ver solução completaa.
b.
c.
Questão 42
Encontre o conjunto solução
do sistema linear homogêneo
Mostre que
é um subespaço do
. Dado o subespaço
, determine um sistema de geradores para o subespaço
.
Ver solução completaQuestão 44
Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operações elementares para transformá-las em matrizes triangulares superiores.
(a)
;
Ver solução completa(a)
Questão 45
Calcule o determinante da matriz
Dica: Use algoritmo de cálculo do determinante via escalonamento.
Ver solução completaQuestão 46
Em cada um dos pares de reagentes, qual é o melhor nucleófilo para uma reação SN2 no
em solução de metanol?
a)
or
Ver solução completaa)
Questão 48
Determine as equações na forma paramétrica e na forma reduzida da reta paralela a reta
e que passa pelo ponto
Ver solução completaQuestão 49
Resolva os sistemas lineares a três variáveis, identificando-os como SPD, SPI ou SI.
Ver solução completaQuestão 51
Obtenha uma equação vetorial para a reta
, concorrente com
e
nos seguintes casos:
e
e
é paralela à reta determinada por
e
.
Ver solução completae
Questão 53
Considere os polinômios
e
. Determine se é possível escrever
como combinação linear de
e
.
Ver solução completaQuestão 54
Verifique se os planos são paralelos, caso afirmativo calcule a distância entre os mesmos:
e
.
Ver solução completaQuestão 56
Verificar se os pontos
e C são colineares nos seguintes casos:
b)
e
R: Sim!
Ver solução completab)
R: Sim!
Questão 57
Sejam os vetores
e
. Mostre que o conjunto
é uma base do
. Além disso, determine
.
Ver solução completaQuestão 58
Seja
.
(a) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada
que é linha equivalente a matriz A.
Ver solução completa(a) Encontre a matriz linha reduzida à forma escada
Questão 59
Escreva as equações reduzidas das parábolas a seguir, dados
(e) o vértice
e foco
.
Ver solução completa(e) o vértice
Questão 61
Determine as equações paramétricas da mediatriz do segmento de reta
, onde
e
.
Ver solução completaQuestão 63
Classifique as matrizes abaixo em escalonada, escalonada reduzida, ambas ou nenhuma. ©
Ver solução completaQuestão 65
Verifique se o conjunto de vetores
é linearmente independente e escreva, se possível, o vetor
como combinação linear dos vetores do conjunto.
Ver solução completaQuestão 66
Seja
uma matriz
tal que
.
Se
, onde
denota a matriz transposta de
e
denota a matriz inversa de
, calcule det
. Explicite os passos de sua resolução.
Ver solução completaSe
Questão 68
Mostre que se
formam uma base de
então todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear dessa base de uma única maneira.
Ver solução completaQuestão 69
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jordan (matrizes escalonadas reduzidas)
Ver solução completaQuestão 70
Determinar a consistência ou inconsistência do sistema em função do parâmetro
.
. Rpta: Se
, o sistema tem infinitas soluções. Se
, o sistema é incompatível. Se
e
, o sistema tem solução única.
Ver solução completaQuestão 72
Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando a regra de Cramer:
.
Ver solução completaQuestão 74
Prove que a multiplicação é uma operação em
, se e somente se,
é primo.
Ver solução completaQuestão 78
Dados os sistemas lineares a seguir:
- Resolva os sistemas lineares por escalonamento;
- Classifique os sistemas lineares quanto ao número de soluções (utilize a definição de posto da matriz) e determine grau de liberdade (se o sistema for possível e indeterminado).
Ver solução completaQuestão 79
Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se
um matriz inversível de ordem 4 e
, então
.
Ver solução completa(a) ( ) Se
Questão 81
Todas as entradas de uma matriz simétrica são determinadas pelas entradas que ocorrem na diagonal principal e acima dela.
Ver solução completaQuestão 83
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
Qual a transformação de
?
Ver solução completaQual a transformação de
Questão 84
Se
e
, então o produto
é:
A. Número natural múltiplo de 9 .
B. Número inteiro primo.
C. Número Racional divisível por 11.
D. Número irracional.
E. Número Racional múltiplo de 7 .
Ver solução completaA. Número natural múltiplo de 9 .
B. Número inteiro primo.
C. Número Racional divisível por 11.
D. Número irracional.
E. Número Racional múltiplo de 7 .
Questão 85
Considere a matriz
. Calcule os autovalores e autovetores normalizados.
Ver solução completaQuestão 86
Determine a distância da reta
(a) ao plano
;
(b) ao eixo dos
;
© ao plano
.
Ver solução completa(b) ao eixo dos
© ao plano
Questão 87
Escreva as equações das seguintes elipses: Os vértices vértices são
.
Ver solução completaQuestão 89
Os pontos abaixo foram fornecidos em coordenadas polares. Passe para coordenas cartesianas:
(vi)
Ver solução completa(vi)
Questão 90
Considere o espaço vetorial
. Seja
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
.
Ver solução completaQuestão 91
Suponha a seguinte equação matricial
. Se a matriz
for do tipo
e a matriz
tiver cinco linhas, qual é o tipo da matriz
? Qual é o número de colunas da matriz
? Qual é a ordem da matriz Identidade? Justifique.
Ver solução completaQuestão 93
Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
Ver solução completaQuestão 94
Determinar os vatores próprios e os vetores proprios das seguintes transformaçôes lineares:
Ver solução completaQuestão 96
Verificar quais desses subconjuntos são subespaços vetoriais de
, considerando as operações de adição e multiplicação por escalar usuais.
b)
Ver solução completab)
Questão 97
Ex. 2.3 - Dados
e
desenhe o triângulo
e ache:
e) O ponto médio do segmento
Ver solução completae) O ponto médio do segmento