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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Passo 1

Antes de começar, é importante verificar se o grau do denominador é maior que o do numerador. Nesse caso é fácil de ver que sim e pode continuar. Vamos lá para as nossas frações parciais!

Decompondo

x 2 - 4 = ( x + 2 ) ( x - 2 )

Então

3 x - 2 x 2 - 4 = A x + 2 + B x - 2

Passo 2

Fazendo com que as frações tenham o mesmo denominador teremos

3 x - 2 x 2 - 4 = A ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) + B ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )

Se o denominador é o mesmo em ambos os lados da expressão podemos fazer

3 x - 2 = A x - 2 + B ( x + 2 )

3 x - 2 = A x - 2 A + B x + 2 B

3 x - 2 = x A + B - 2 A + 2 B

Agora, podemos usar aquele bizu! Quando chegamos na equação como agora, facilita substituir as raízes dos polinômios para zerar os termos. Nossas raízes são x = - 2 e x = 2 .

3 ( 2 ) - 2 = ( 2 ) A + B - 2 A + 2 B

6 - 2 = 2 A + 2 B - 2 A + 2 B

4 = 4 B

B = 1

Logo

A = 2

Nossa expressão na forma de frações parciais ficou

3 x - 2 x 2 - 4 = 2 x + 2 + 1 x - 2

Passo 3

Agora vamos voltar para a integral

∫ 3 x - 2 x 2 - 4 d x = ∫ 2 x + 2 d x + ∫ 1 x - 2 d x

∫ 3 x - 2 x 2 - 4 d x = 2 ∫ 1 x + 2 d x + ∫ 1 x - 2 d x

Para resolver a integral

∫ 1 x + 2 d x

Vamos utilizar a substituição

u = x + 2

d u = d x

Então ficamos com

∫ 1 x + 2 d x = ∫ 1 u d u

∫ 1 x + 2 d x = ln ⁡ u

Desfazendo a substituição

∫ 1 x + 2 d x = ln ⁡ x + 2

Fazendo a mesmíssima coisa com a outra integral, temos que

∫ 1 x - 2 d x = ln ⁡ x - 2

E substituindo na integral, ficamos com

∫ 3 x - 2 x 2 - 4 d x = 2 ln ⁡ x + 2 + ln ⁡ x - 2 + C

Não podemos esquecer a constante de integração! Prontinho.

Resposta

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