4ii) Calcule a seguinte primitiva:
Passo 1
Vamos olhar bem pra essa integral e perguntar pra ela quem ela é. Se você ouviu: polinômio dividido por polinômio, então ela não mentiu! Só que, dá uma olhada nesse denominador:
Opa, uma diferença de quadrados! Sendo assim podemos reescrever ele para:
E a integral fica:
Ok, mas e daí? Bem, quando a gente escreve o denominador assim, pelo método das frações parciais, conseguimos escrever a integral como a soma de duas integrais:
Onde e são constantes! Então bora achar elas!
Passo 2
Pra achar essas duas constantes, vamos olhar só pro que tá dentro das integrais:
Colocando tudo no mesmo denominador, temos:
Cortando os denominadores primeiro e depois fazendo a distributiva, ficamos com:
Ficamos então com o seguinte sistema de equações:
Somando as duas equações, temos:
E logo, tendo encontrado , achamos também e ficamos com:
A integral fica:
E como essa integral tem resolução direta, ficamos com: