Bônus – Resolva a integral:

A técnica de frações parciais consiste em tentar desmembrar esse integrando em frações mais simples, que a gente consiga resolver. E essas frações mais simples vão ser as frações que deram origem a essa fração mais complicada. Como assim?

É como se a gente tivesse uma fita e ela estivesse no final e quiséssemos ver o início dela. A gente ia precisar rebobinar, não é? (Sim, sou das antigas)

Assim como na fita, a gente precisa refazer os passos para tentar chegar no final. Calma que vou te explicar com um exemplo.

Por exemplo essa fração aqui:

Ela pode ter sido o resultado da soma de duas outras frações, como por exemplo:

E como a gente sabe disso? É que a gente já fez o mmc entre esses dois denominadores e já calculou as frações equivalentes, saca só:

Mas como assim já calculou? Lembra que falei que era como se fosse um filme e a gente conhecia o fim, mas não o começo? Então é isso, a gente só sabe o resultado de , mas não sabe que as frações que deram origem são e

E o que será que isso tem a ver com o nosso caso? Nós sabemos o integrando

Mas não sabemos as frações que deram origem a essa fração. E se soubermos as frações originais, a chance de elas serem mais simples é grande e aí conseguimos resolver essa integral.

Então agora a ideia é mexer nesse integrando aí pra que ele vire algo integrável, bora começar?

A gente faz assim: divide em tantas frações quantas forem os termos da fatoração do denominador. O nosso denominador já está na forma fatorada:

Então vamos separar em duas frações com denominadores iguais aos fatores e e com numeradores que a gente ainda não conhece:

Uma dica: o polinômio do numerador é sempre uma ordem de grandeza a menos do que a ordem de grandeza do denominador. Por isso a fração cujo denominador é tem em seu numerador um polinômio de segundo grau. Beleza?

E nossa missão é descobrir , e que tornem verdadeira a igualdade:

Agora vamos ir refazendo os passos para saber quais são os coeficientes e . O mmc entre os dois fatores e é só o produto deles (e não precisa fazer a multiplicação tá, só deixa indicado mesmo). Daí fazendo o mmc temos:

E como os dois lados tem que ser iguais, podemos cortar os denominadores dos dois lados:

Tudo ok até aqui?

A equação que nos resta é uma igualdade entre polinômios. E dois polinômios só são iguais quando seus coeficientes de mesma potência são iguais. Então vou começar agrupando os termos de mesmo grau do lado direito:

E aí temos:

Então temos que os coeficientes dos termos de mesma ordem devem ser iguais. Assim igualando os coeficientes temos um sistema de três equações e três variáveis:

Da equação de cima temos:

Aí vamos usar a última equação:

E como , temos que essa expressão para fica assim:

E agora vamos substituir (que está em função de ) e (que também está em função de ) na equação do meio, que foi a única que ainda não usamos:

Agora que sabemos , podemos determinar e :

Coeficientes determinados, vamos voltar lá para as nossas frações parciais e completar com os coeficientes corretos:

E substituindo temos:

E esse é nosso novo integrando! Saca só como fica nossa integral agora:

Ela fica dividida em duas!

Calma! Prometo para você que vai ficar melhor!

Olha com carinho a primeira integral do lado direito:

Ela é parecida com essa daqui:

A diferença é que aqui o nosso está deslocado e temos uma constante multiplicando na frente. Aí a integral mais geral vai ficar assim:

No nosso caso e , então essa primeira integral fica assim:

Beleza? Vamos pra outra integral?

(a constante de integração vou colocar lá no final tá?)

A outra integral do lado direito é:

Como é uma constante, vou colocar ela multiplicando fora da integral:

E agora aqui precisamos de um pouco de carinho (e truque sujo!).

Nosso denominador pode ser reescrito da seguinte forma:

E o termo que está dentro dos parênteses é um quadrado perfeito:

Tá, daí nossa integral fica assim ó:

E agora vem o truque mais sujo que você vai ver hoje: uma mudança de variável!

Supondo que:

O nosso denominador fica assim:

E o numerador:

E aqui tá o pulo do gato!

Com o numerador dividido em duas parcelas (o termo e o ) podemos dividir essa fração em outras duas!

Saca só:

E aqui vai o último truquinho da questão: trocar por , daí um dos dois pode sair da integral e o outro fica, pois vai ser o da integração por substituição!

Ah, e é claro, aquele da segunda integral pode também sair pra fora:

Daí na primeira integral da direita, a gente vai aplicar a técnica da substituição simples e, na segunda integral, éa uma substituição trigonométrica!

Agora é mãos à obra! Toma uma água aí e bora integrar essas duas coisas!

A primeira integral fica:

Vamos dizer que e assim , fazendo a substituição temos:

E essa integral a gente resgata lá do passo 7 da integral do :

Mas aqui com e . Aí nossa integral vai ficar assim:

E voltando para é:

E que por sua vez voltando pra , lembrando que , daí temos nosso em termos de :

E lembra que lá na frente da integral tinha um , então o resultado dessa parte fica assim:

(a constante de integração vou colocar só no final tá?)

Por fim a segunda integral:

Aqui temos um denominador do tipo , com e . E aqui é substituição trigonométrica direto!

Pela forma do denominador, a substituição é da tangente:

Daí e . Substituindo no nosso integrando temos:

E da relação fundamental da trigonometria que envolve a secante e a tangente temos:

Olha como nosso integrando vai ficar bonitão:

E essa integral é tranquila! Saca só:

Maaas precisamos voltar para :

E voltar para :

Daí nosso resultado fica:

Mas lembra que na frente dessa integral lá no começo tinha um , daí o resultado parcial (parece tele sena, mas não é) é:

Agora é só juntar todos esses resultados!

Nossa integral original era:

Separamos em frações parciais e ficamos com (passo 6):

Daí o resultado da primeira integral tá lá no finalzinho do passo 7, e o resultado da segunda tá no fim dos passos 8 e 10:

Agora sim não esquece de colocar a constante de integração! Essa é uma integral indefinida e precisamos adicionar o no fim, ok?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!