UnB; Cálculo 1; Lista 15; Exercício 3e
3) Para cada uma das funções abaixo, determine o formato da sua expressão em frações parciais. Aqui, não é necessário calcular as constantes mas somente apresentar o formato da soma.
e)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Essa questãozinha aqui, pede pra gente determinar o formato que a expressão dada adotaria, para que essa fosse resolvida pelo método de integração por frações parciais!
Antes de tudo vamos relembrar o que são frações parciais então!
A utilização de frações parciais, tem como objetivo decompor uma função racional, como soma de outras funções mais simples!
Tá, mas por onde eu começo para decompor a função racional?
Cada caso é único, e por isso, devemos sempre avaliar qual o formato que os polinômios estão organizados!
Vamos lá fazer isso com a nossa função esse exercício aqui então!
Passo 2
A função que nos foi dada é a seguinte:
O nosso numerador aqui é simples, então não podemos fazer mais nada nele. Já o nosso denominador, como é um quadrado perfeito, pode ser desenvolvido.
Das regrinhas básicas da matemática, toda vez que temos um quadrado perfeito, sabemos que este pode ser fatorado através da fórmula da diferença de quadrados!
Essa fórmula é assim: .
Usando isso para o nosso denominador, vamos começar reescrevendo o nosso denominador nessa forma de e como utilizado acima:
Então, vamos ter que:
Agora, podemos aplicar a regra do produto em . Vamos obter:
Pronto! Conseguimos decompor o nosso denominador!
Mas e agora?
Passo 3
Vamos reescrever a nossa expressão com o novo denominador obtido no passo 2 anterior:
Com essa nova decomposição, podemos aplicar a regrinha pra criação das frações parciais!
Essa regrinha diz que para cada fator no denominador, criaremos uma fração, usando o fator como denominador, e um valor desconhecido ) como numerador.
E além disso, quando o denominador estiver elevado a um determinado número, devemos adotar o seguinte:
Onde é a nossa função racional e é o numerador!
Então, dada a nossa função:
Vamos dividi-la seguindo a regra da seguinte maneira:
Prontinho! Encontramos a nossa fração parcial! Bem simples, não é mesmo?
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?