UnB; Cálculo 1; Lista 15; Exercício 3f
3) Para cada uma das funções abaixo, determine o formato da sua expressão em frações parciais. Aqui, não é necessário calcular as constantes mas somente apresentar o formato da soma.
f)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Essa questãozinha aqui, pede pra gente determinar o formato que a expressão dada adotaria, para que essa fosse resolvida pelo método de integração por frações parciais!
Antes de tudo vamos relembrar o que são frações parciais então!
A utilização de frações parciais, tem como objetivo decompor uma função racional, como soma de outras funções mais simples!
Tá, mas por onde eu começo para decompor a função racional?
Cada caso é único, e por isso, devemos sempre avaliar qual o formato que os polinômios estão organizados!
Vamos lá fazer isso com a nossa função esse exercício aqui então!
Passo 2
A função que nos foi dada é a seguinte:
Nesse caso aqui, o nosso numerador é uma expressão que não tem como ser fatorada com números racionais. Portanto, deixaremos ele do jeito que está!
Mas deixar esse numerador com um fator de elevado ao quadrado não tem problema?
Não! É bem tranquilo pois temos uma regrinha pra isso! Já chegamos lá e eu te explico melhor!
Vamos agora avaliar o nosso denominador: .
Nesse caso aqui, como temos um fator elevado à quarta, um elevado à segunda e um que não está em função de , podemos fazer o seguinte:
Vamos começar reescrevendo como .
Agora, vamos fazer uma substituição, deixando .
Agora que reescrevemos em função de você consegue enxergar o porquê de a gente ter feito isso?
Reescrever dessa forma permitiu que aparecesse uma expressão que pudesse ser fatorada através da regra do quadrado perfeito: !!
Vamos lá usar essa regrinha então! Vamos ter que:
Agora substituiremos de volta:
Pronto! Conseguimos decompor o nosso denominador!
Mas e agora?
Passo 3
Vamos reescrever a nossa expressão com o novo denominador obtido no passo 2 anterior:
Com essa nova decomposição, podemos aplicar a regrinha pra criação das frações parciais!
Essa regrinha diz que para cada fator no denominador, criaremos uma fração, usando o fator como denominador, e um valor desconhecido ) como numerador.
Mas antes disso, lembra que ali no passo 2 eu falei pra vocês que existe uma regrinha para quando o nosso denominador estiver com um fator elevado ao quadrado? Então, temos que quando isso acontecer, E quando o denominador estiver elevado a um determinado número, devemos adotar o seguinte:
Onde é a nossa função racional e é o numerador!
Então, dada a nossa função:
Vamos dividi-la seguindo a regra da seguinte maneira:
Prontinho! Encontramos a nossa fração parcial! Bem simples, não é mesmo?
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?