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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 12.2

Calcule ∫ 1 1 + x 4 d x

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos calcular uma integral que, enfim. Vocês vão ver. Ela dará um pouco de trabalho, mas será satisfatório quando terminarmos.

Primeira coisa que iremos fazer é calcular as frações parciais de 1 1 + x 4

1 1 + x 4 = 1 x 2 + 2 x + 1 x 2 - 2 x + 1

= a 1 x + a 0 x 2 + 2 x + 1 + a 3 x + a 2 x 2 - 2 x + 1

a 0 + a 2 = 1 a 1 - 2 a 0 + a 3 + 2 a 2 = 0 - 2 a 1 + a 0 + 2 a 3 + a 2 = 0 a 1 + a 3 = 0

Resolvendo o sistema de equações

a 0 = 1 2

a 2 = 1 2

a 1 = 1 2 2

a 3 = - 1 2 2

Substituindo os valores e simplificando

∫ x + 2 2 2 ( x 2 + 2 x + 1 ) + - x + 2 2 2 ( x 2 - 2 x + 1 ) d x

Passo 2

Vamos dividir para conquistar essas integrações

∫ x + 2 2 2 x 2 + 2 x + 1 d x

= 1 2 2 ∫ x + 2 ( x 2 + 2 x + 1 )

= 1 2 2 ∫ x + 2 x + 1 2 2 + 1 2 d x

Realizando a substituição

u = x + 1 2

= 1 2 2 ∫ 2 ( 2 u + 1 ) 2 u 2 + 1 d u

= 1 2 2 ∙ 2 ∫ 2 u + 1 2 u 2 + 1 d u

= 1 2 2 ∙ 2 ∫ 2 u 2 u 2 + 1 d u + ∫ 1 2 u 2 + 1 d u

= 1 2 2 ∙ 2 1 2 2 ln ⁡ | 2 u 2 + 1 | + 1 2 arctan ⁡ 2 u

Agora fazendo o caminho de retirar a substituição

= 1 2 2 2 1 2 2 ln ⁡ | 2 x + 1 2 2 + 1 | + 1 2 arctan ⁡ 2 ( x + 1 2

Simplificando

= 1 4 2 ln ⁡ | 2 x 2 + 2 2 x + 2 + 2 arctan ⁡ ( 2 x + 1 ) )

Passo 3

∫ - x + 2 2 2 ( x 2 - 2 x + 1 ) d x

A integração acima é análoga, mudando apenas o sinal

= 1 4 2 - ln ⁡ | 2 x 2 - 2 2 x + 2 + 2 arctan ⁡ ( 2 x - 1 ) )

E o final é

= 1 4 2 ln ⁡ | 2 x 2 + 2 2 x + 2 + 2 arctan ⁡ ( 2 x + 1 ) ) + 1 4 2 - ln ⁡ | 2 x 2 - 2 2 x + 2 + 2 arctan ⁡ ( 2 x - 1 ) )

Resposta

= 1 4 2 ln ⁡ | 2 x 2 + 2 2 x + 2 + 2 arctan ⁡ ( 2 x + 1 ) ) + 1 4 2 - ln ⁡ | 2 x 2 - 2 2 x + 2 + 2 arctan ⁡ ( 2 x - 1 ) )

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