UnB; Cálculo 1; Lista 15; Exercício 4b
4) Calcule cada uma das integrais abaixo.
b)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Antes de sairmos resolvendo essa integralzinha aqui, você já parou pra pensar em que método vamos usar pra fazer isso?
Antes de tudo vamos observar que ali no denominador, temos uma expressãozinha que pode ser decomposta! Vamos reorganizá-la então:
Vamos reescrever a nossa integral então:
Como temos aquela carinha ali no denominador, podemos usar o método de integração por frações parciais, onde integraremos membro a membro! Mas como fazemos isso?
Para cada fator no denominador, criaremos uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido () como numerador.
Nesse caso, como o fator no denominador é linear, vamos colocar apenas uma variável para cada parênteses:
Mas e agora? O que eu faço com essa integral?
Agora devemos encontrar o valor de e de ! Bora lá então!
Passo 2
Para definirmos os valores de e , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos da igualdade. Desse modo, o lado esquerdo da igualdade será , e a partir disso poderemos achar os valores que queremos.
Relembrando a função na qual trabalharemos:
Multiplicando:
Agora que temos essa expressão simplesinha, podemos aplicar distributiva:
Agora com isso, podemos estabelecer um sistema de equações.
Substituindo em :
Substituindo em :
Pronto! Encontramos os valores de A e B!
Passo 3
Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:
Mas e agora? Faço o que com isso?
Calma! Antes de tudo vamos observar que temos a soma de duas frações. Isso quer dizer que podemos dividir a integral entre essas somas:
Outra coisa que podemos perceber aqui, é que os números 5/7 e 2/7 são constantes nas duas integrais. Então elas podem ser retiradas da integral:
Agora, como temos duas integrais, vamos encontrar cada uma separadamente, e depois somar o seu resultado!
Passo 4
Resolvendo a primeira integral, vamos ter que:
Para resolvê-la, vamos usar o método da substituição em . Então, adotaremos e .
Sendo assim:
Essa integral é uma integral conhecida! Portanto, podemos colocar o resultado dela diretamente:
Retornando o valor de :
Agora vamos resolver a segunda integral:
Aqui também podemos resolver utilizando o método da substituição . Pra esse caso, adotaremos então e
Retornando o valor de :
Pronto! Já temos os valores de cada uma das integrais!
Passo 5
Por fim, com os dois resultados obtidos no passo 4, podemos agora somá-los:
Então, vamos ter como resultado final:
Ufa!! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?