UnB; Cálculo 1; Lista 15; Exercício 5c
5) Calcule cada uma das integrais abaixo.
(c)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Como o enunciado dessa questão é bem direto e não tem lá muita interpretação de texto, pra resolvermos esse exercício aqui, primeiro precisamos definir que método utilizaremos! Tá, mas como eu faço isso?
Nesse exercício, como temos um polinômio no nosso denominador, vamos primeiro fatorá-lo para então decidir que método adotar!
Então, tendo o denominador , fazendo sua fatoração, vamos ter que isso é a mesma coisa que: .
Reescrevendo a nossa integral com esse novo denominador então, vamos ter que:
Essa maneira que o denominador está organizado permite que nós usemos o método de integração por frações parciais, já que temos uma soma de frações presente ali!!
Então avaliando melhor esse método, como já nos diz a regra das frações parciais: para cada fator presente no denominador original (que chamaremos de e ), criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador, que será chamado de entre outros.
Ótimo! Mas como vamos fazer isso? Como a nossa função vai ficar organizada?
Pra fazer essa reorganização, vamos utilizar a seguinte relação: , onde consideraremos e .
A partir disso, podemos agora criar uma fração utilizando o fator como denominador:
Passo 2
Agora, você deve estar se perguntando o que fazemos com isso...
Calma! Pra gente conseguir seguir em frente vamos agora definir os valores de e !
Pra isso, vamos relembrar que nossa função começou assim:
Agora já temos:
Como precisamos encontrar , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Fazendo isso, o lado esquerdo dessa igualdade será apenas e poderemos evoluir com essas letrinhas:
Simplificando a expressão acima temos que:
Agora que temos a expressão dividida em uma parte que está em função de e uma parte que não está, vamos estabelecer um sisteminha pra descobrirmos o valor de e de .
Pra isso, vamos observar que do lado esquerdo da equação, temos acompanhando os termos de primeiro grau, como se fosse:
A partir disso, podemos fazer a seguinte relação:
Que é a mesma coisa que:
E podemos fazer essa outra relação:
Então, isolando em :
Agora, substituindo em :
Substituindo o valor de encontrado em temos que:
Prontinho! Já temos nossos valores de e ! E agora?
Passo 3
Agora conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:
Tá, mas parece que isso não ajudou muito ainda né? Mas calma que você já vai entender o porquê disso tudo!
Com essa nova função determinada ali em cima, podemos partir para a nossa integral de fato!!
Agora vamos observar ali que temos uma soma de frações, e constantes presentes em cada uma dessas frações. Isso vai permitir que a gente reorganize essa expressão da seguinte forma:
Agora vamos resolver uma integral de cada vez, de maneira individual, no próximo passo pra ficar mais organizado!
Passo 4
Avaliando então a primeira integral:
Para resolvermos essa integral, vamos utilizar o método da substituição em . Então, adotaremos e .
Então, substituindo na integral, vamos ter que:
Agora, a integral de com relação a é !
Você pode verificar que sempre que você tiver o número 1 dividido por uma variável sozinha, que nem nesse caso aqui, a integral possuirá esse valor!!
Então, vamos ter que o nosso resultado da integral acima é:
Substituindo de volta no resultado acima vamos ter que:
Passo 5
Bora lá resolver a próxima integral que faltou lá do passo 3:
Aqui vamos resolver exatamente da mesma forma que utilizamos ali no passo 4:
Vamos adotar e .
Resolvendo e já substituindo de volta:
Passo 6
Agora pra finalizarmos essa questãozinha, vamos relembrar da nossa integral que queremos calcular:
Juntando os resultados dessas duas integrais desenvolvidas nos passos 4 e 5 vamos ter que:
Lembrando que esse é a nossa constante de integração!
Conseguimos!!!! Bem tranquilo, não é mesmo?
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?