UnB; Cálculo 1; Lista Semana 15; “Integração por frações parciais; Comprimento de arco”; Exercício 4d
4) Calcule cada uma das integrais abaixo:
(d)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício clássico de Integral por Frações Parciais. Sabemos que é uma Integral desse tipo porque a integral dessa função não pode ser calculada nem diretamente, nem por substituição de variável e nem por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações, e então, integraremos membro a membro.
Qual é a cara que a nossa função terá? Será algo do tipo:
Perceba que esses denominadores são os parênteses do denominador original divididos!
Além disso, é legal observarmos que o segundo termo tem por conta do seu denominador ser do segundo grau, portanto precisamos de um termo de primeiro grau () e um termo independente ().
Passo 2
O que precisamos, a partir de agora, é definir , e .
Relembrando, nossa função começou assim:
Agora já temos:
Como precisamos encontrar , e , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Dessa forma, o lado esquerdo da igualdade será apenas e poderemos evoluir com as letrinhas:
Como já era esperado, no lado esquerdo da igualdade podemos cortar o denominador. Já no lado direito, cada um dos denominadores será cortado por um dos parênteses, ficando algo desse tipo:
Bacana, ficou como esperávamos né?
Uma coisa que fica claro é que podemos aplicar distributiva para multiplicar as letras pelos parênteses no lado direito da equação:
Para deixar mais organizado, vamos deixar os termos quadráticos no começo, os de 1º grau na sequência e os termos sem por último:
Claro que essa organização não é à toa!
O número que acompanha a variável de 2º grau no lado esquerdo da equação é equivalente aos termos que acompanham as variáveis de 2º grau no lado direito. Ou seja:
Da mesma forma acontecerá para o número que acompanha a variável de 1º grau:
E como não poderia ser diferente, para as constantes:
Com certeza você já percebeu né... Um sistema!
Vamos resolver?
Isolando
Isolando
Substituindo na terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Ufa! Agora que conseguimos o valor de , podemos encontrar o restante:
Passo 3
Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:
Calma, agora partiremos para a integral de fato!
Antes, podemos simplificar essa função:
E, portanto:
Como há subtração entre as frações, podemos dividir essa integral:
Outra coisa que podemos perceber é que os números e são constantes em relação à . Portanto podem ser retirados para fora da integral:
A partir de agora, olharemos para as integrais de maneira individual:
Essa integral pode ser facilmente resolvida por substituição.
Se ,
Ficando:
Retornando:
Próxima integral:
Essa fração pode ser dividida em duas, certo?
Obtivemos duas integrais e, então, vamos calcular!
Da mesma forma, resolveremos por substituição:
Se , e .
Ficando:
Retornando:
Última integral:
Essa é uma integral resolvida por substituição direta. Na sua tabela de integrais você verá que:
Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos juntar tudo. Ah, não podemos esquecer da Constante de Integração!
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?