UnB; Cálculo 1; Lista 15; Exercício 4e
4) Calcule cada uma das integrais abaixo.
(e)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Vamos lá, pessoal! Pra resolvermos esse exercício aqui, primeiro precisamos definir que método utilizaremos! Tá, mas como eu faço isso?
Avaliando a integral que o probleminha deu pra gente, vamos ver que o denominador pode ser fatorado, já que possui três variáveis distintas () que se somam.
Então, vamos ter que essa soma na forma fatorada pode ser: .
Reorganizando a integral temos que:
Agora que temos essa organização melhor de nossa integral, podemos determinar que tipo de método usar!
Essa maneira que o denominador está organizado permite que nós usemos o método de integração por frações parciais, já que temos uma soma de frações presente ali!!
Então avaliando melhor esse método, como já nos diz a regra das frações parciais: para cada fator presente no denominador original (que chamaremos de e ), criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador, que será chamado de entre outros.
Ótimo! Mas como vamos fazer isso? Como a nossa função vai ficar organizada?
Pra fazer essa reorganização, vamos utilizar a seguinte relação: , onde consideraremos e .
A partir disso, podemos agora criar uma fração utilizando o fator como denominador:
Passo 2
Agora, você deve estar se perguntando o que fazemos com isso...
Calma! Vamos agora definir os valores de e !
Pra isso, vamos relembrar que nossa função começou assim:
Agora já temos:
Como precisamos encontrar , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Fazendo isso, o lado esquerdo dessa igualdade será apenas e poderemos evoluir com essas letrinhas:
Simplificando a expressão acima temos que:
Pra evoluir com isso daí, precisamos agora aplicar as propriedades distributivas:
Agora que temos a expressão dividida em uma parte que está em função de e uma parte que não está, vamos estabelecer um sisteminha pra descobrirmos o valor de e de .
Pra isso, vamos observar que do lado esquerdo da equação, temos acompanhando os termos de primeiro grau, como se fosse:
A partir disso, podemos fazer a seguinte relação:
Que é a mesma coisa que:
E podemos fazer essa outra relação:
Então, isolando em :
Agora, substituindo em :
Substituindo o valor de encontrado em temos que:
Prontinho! Já temos nossos valores de e ! E agora?
Passo 3
Agora conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:
Tá, mas parece que isso não ajudou muito ainda né? Mas calma que você já vai entender o porquê disso tudo!
Com essa nova função determinada ali em cima, podemos partir para a nossa integral de fato!!
Como é uma subtração de frações, podemos fazer o seguinte:
Além disso, como o 2 ali na primeira integral é uma constante, podemos tirá-lo de lá:
Agora vamos resolver uma integral de cada vez, de maneira individual, no próximo passo pra ficar mais organizado!
Passo 4
Avaliando então a primeira integral:
Para resolvermos essa integral, vamos utilizar o método da substituição em . Então, adotaremos e
Ixi! Mais uma fração parcial! Mas calma, agora que já sabemos o esquema pra usar o método da integração por frações parciais ficará mais fácil!
Vamos lá então! Seguindo a mesma lógica e ordem do que fizemos lá no passo 1 e 2, temos:
Simplificando:
Separando a parte “com ” e a parte “sem :
Como , substituindo em temos:
Voltando para a integral:
Como há subtração entre as frações, e constantes, temos que:
Como a integral de já é conhecida, temos que:
Substituindo de volta:
Ufa! A primeira integral já temos!
Passo 5
Bora lá resolver a próxima integral que faltou lá do passo 3:
Para resolvermos essa integral, também vamos utilizar o método da substituição em . Então, adotaremos e
Outra fração parcial! Mas calmaaaa! Não surtem hahaha! Até agora já fizemos duas vezes o método da integração por frações parciais, então fazer mais uma será melzinho na chupeta!!
Vamos lá então! Seguindo a mesma lógica e ordem do passo anterior, temos:
Simplificando:
Separando a parte “com ” e a parte “sem :
Como , substituindo em temos:
Voltando para a integral:
Como há subtração entre as frações, e constantes, temos que:
Como a integral de já é conhecida, temos que:
Substituindo de volta:
Conseguimos! Viu só como foi tranquilo?
Passo 6
Agora pra finalizarmos essa questãozinha, vamos relembrar da nossa integral que queremos calcular:
Juntando os resultados dessas duas integrais desenvolvidas nos passos 4 e 5 vamos ter que:
Lembrando que esse é a nossa constante de integração!
Ufaaaaa! Conseguimos!!!!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?