5) Calcule cada uma das integrais abaixo.

(f)

Vamos agora resolver essa integral!!

Antes de tudo vamos ver ali que como o denominador é um polinômio, podemos fazer a sua fatoração!

Então, vamos adotar como sendo .

Reescrevendo a nossa nova integral, temos então que:

Tá, mas e agora o que fazemos com isso?

Essa maneira que o denominador está organizado permite que nós usemos o método de integração por frações parciais, já que temos uma soma de frações presente ali!!

Então avaliando melhor esse método, como já nos diz a regra das frações parciais: para cada fator presente no denominador original (que chamaremos de e ), criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador, que será chamado de entre outros.

Ótimo! Mas como vamos fazer isso? Como a nossa função vai ficar organizada?

Pra fazer essa reorganização, vamos utilizar a seguinte relação: , onde consideraremos e .

A partir disso, podemos agora criar uma fração utilizando o fator como denominador:

Agora, você deve estar se perguntando o que fazemos com isso...

Calma! Pra gente conseguir seguir em frente vamos agora definir os valores de e !

Pra isso, vamos relembrar que nossa função começou assim:

Agora já temos:

Como precisamos encontrar , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Fazendo isso, o lado esquerdo dessa igualdade será apenas e poderemos evoluir com essas letrinhas:

Simplificando a expressão acima temos que:

Agora que temos a expressão dividida em uma parte que está em função de e uma parte que não está, vamos estabelecer um sisteminha pra descobrirmos o valor de e de .

Pra isso, vamos observar que do lado esquerdo da equação, temos acompanhando os termos de primeiro grau, como se fosse:

A partir disso, podemos fazer a seguinte relação:

Que é a mesma coisa que:

E podemos fazer essa outra relação:

Então, isolando em :

Agora, substituindo em :

Substituindo o valor de encontrado em temos que:

Prontinho! Já temos nossos valores de e ! E agora?

Agora conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:

Tá, mas parece que isso não ajudou muito ainda né? Mas calma que você já vai entender o porquê disso tudo!

Com essa nova função determinada ali em cima, podemos partir para a nossa integral de fato!!

Agora vamos observar ali que temos uma subtração de frações, e constantes presentes em cada uma dessas frações. Isso vai permitir que a gente reorganize essa expressão da seguinte forma:

Agora vamos resolver uma integral de cada vez, de maneira individual, no próximo passo pra ficar mais organizado!

Avaliando então a primeira integral:

Para resolvermos essa integral, vamos utilizar o método da substituição em . Porém, como aqui já temos a variável , vamos utilizar outra letra: . Faremos então o método da substituição em , mas usando .

Então, adotaremos e .

Então, substituindo na integral, e depois resolvendo-a, vamos ter que:

Substituindo de volta o valor de temos que:

Bora lá resolver a próxima integral que faltou lá do passo 3:

Aqui vamos resolver exatamente da mesma forma que utilizamos ali no passo 4:

Vamos adotar e .

Resolvendo e já substituindo de volta:

Agora pra finalizarmos essa questãozinha, vamos relembrar da nossa integral que queremos calcular:

Juntando os resultados dessas duas integrais desenvolvidas nos passos 4 e 5 vamos ter que:

Substituindo de volta o valor de temos que:

Lembrando que esse é a nossa constante de integração!

Conseguimos!!!!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?