UnB; Cálculo 1; Lista 15; Exercício 5g
5) Calcule cada uma das integrais abaixo.
(g)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Como o enunciado dessa questão é bem direto e não tem lá muita interpretação de texto, pra resolvermos esse exercício aqui, primeiro precisamos definir que método utilizaremos! Tá, mas como eu faço isso?
Antes de tudo, vamos observar que ali na nossa função que vai ser integrada, nós temos um polinômio no nosso denominador. Sempre que isso acontece, é importante que a gente fatore esse polinômio, pra que a integração fique mais simples.
Então, tendo o denominador , fazendo a sua fatoração, vamos ter que isso é a mesma coisa que: .
Reescrevendo a nossa integral com esse novo denominador então, vamos ter que:
Essa maneira que o denominador está organizado permite que nós usemos o método de integração por frações parciais, já que temos uma soma de frações presente ali!!
Então avaliando melhor esse método, como já nos diz a regra das frações parciais: para cada fator presente no denominador original, criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador, que será chamado de entre outros.
Então como no nosso denominador temos três fatores se multiplicando, vamos ter algo assim:
Passo 2
Agora, você deve estar se perguntando o que fazemos com isso...
Calma! Pra gente conseguir seguir em frente vamos agora definir os valores de , e !
Pra isso, vamos relembrar que nossa função começou assim:
Agora já temos:
Como precisamos encontrar , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Fazendo isso, o lado esquerdo dessa igualdade será apenas e poderemos evoluir com essas letrinhas:
Simplificando a expressão acima temos que:
Agora que temos a expressão dividida em uma parte que está em função de e uma parte que não está, vamos estabelecer um sisteminha pra descobrirmos o valor de e de .
Pra isso, vamos observar que do lado esquerdo da equação, temos acompanhando os termos de primeiro e segundo grau, como se fosse:
A partir disso, podemos fazer as seguintes relações:
Agora, substituindo em :
Por fim, substituindo em :
Prontinho! Já temos nossos valores de , e ! E agora?
Passo 3
Agora conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:
Tá, mas parece que isso não ajudou muito ainda né? Mas calma que você já vai entender o porquê disso tudo!
Com essa nova função determinada ali em cima, podemos partir para a nossa integral de fato!!
Agora vamos observar ali que temos uma adição de frações, e constantes presentes em cada uma dessas frações. Isso vai permitir que a gente reorganize essa expressão da seguinte forma:
Agora vamos resolver uma integral de cada vez, de maneira individual, no próximo passo pra ficar mais organizado!
Passo 4
Avaliando então a primeira integral:
Para resolvermos essa integral, você pode verificar que sempre que você tiver o número 1 dividido por uma variável sozinha (nesse caso ), que nem nesse caso aqui, a integral será igual a !!
Então, vamos ter que o resultado dessa integral é:
Passo 5
Bora lá resolver a próxima integral do passo 3:
Para resolvermos essa integral, vamos utilizar o método da substituição em . Então, adotaremos e .
Então, substituindo na integral, vamos ter que:
Opa! Já sabemos que essa integral é ! Então temos como resultado:
Substituindo de volta no resultado acima vamos ter que:
Passo 6
Agora vamos resolver a última integral que falta lá do passo 3:
Aqui vamos resolver da mesma maneira que utilizamos ali no passo 5:
Vamos adotar e .
Resolvendo e já substituindo de volta:
Passo 7
Agora pra finalizarmos essa questãozinha, vamos relembrar da nossa integral que queremos calcular:
Juntando os resultados dessas duas integrais desenvolvidas nos passos 4, 5 e 6 vamos ter que:
Aplicando a propriedade dos logaritmos: , vamos ter que:
Lembrando que esse é a nossa constante de integração!
Conseguimos!!!!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?