UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 7
Calcule o comprimento da curva com .
Passo 1
Oiiie, tudo certinho?
O enunciado é bem direto no que ele quer que façamos! Mas como calculamos o comprimento de uma curva? Nós fazemos isso através da seguinte fórmula:
Em que é a derivada da função! Bora fazer esta questão!
Passo 2
A primeira coisa que precisamos é calcular a derivada de nossa função! Usando que:
Portanto, aplicando a regra do tombo, temos:
Vamos substituir esse resultado em nossa integral! Bora lá!
Passo 3
Temos que
Para começarmos a resolver vamos fazer a seguinte substituição:
Da relação acima, temos que , portanto, temos que
De forma que nossa integral fica como:
Ainda precisamos mudar algumas coisinhas! Bora lá!
Passo 4
Vamos fazer uma segunda mudança de variáveis do tipo
E como , podemos reescrever nossa integral como:
Vamos reescrever isso mais um pouquinho e então poderemos aplicar frações parciais! Saca só!
Passo 5
Primeira coisa vamos trocar o sinal do denominador dentro do integrando desse jeitinho aqui
Eu fiz isso só para ficar mais fácil de ver que , e, portanto:
Sempre que temos um denominador que é produto de dois polinômios diferentes, podemos separar a expressão em frações parciais! Vamos fazer isso agora!
Passo 6
Pegando a fração em nosso integrando temos:
Note que os e que coloquei acima de cada termo é por conta que no denominador temos um polinômio de primeiro grau, então devo colocar um polinômio de grau 0 em cada numerador, e para a última igualdade, eu fiz um MMC. Agora, para que o lado esquerdo seja igual ao lado direito é preciso que os numeradores sejam iguais, ou seja:
Vamos resolver esta equação para as duas constantes!
Passo 7
Para que a igualdade se mantenha, os coeficientes de devem ser iguais em ambos os lados, assim como as constantes, portanto:
Desta forma, temos que , e portanto, e . De forma que temos que:
E nossa integral pode ser escrita como:
Estamos quase lá! Só precisamos de mais uma substituição! Muita calma nessa hora!
Passo 8
Para primeira integral vamos fazer e para a segunda , portanto, temos que:
Resolvendo os limites de integração e expandindo os quadrados, temos:
Podemos simplificar alguns termos e juntar outros, temos
Bastante coisa, mas todas estas integrais podem ser resolvidas diretamente! Bora lá!
Passo 9
Vamos usar que
Então temos que:
Precisamos expandir cada um destes termos agora, belezinha? Lembra do teorema fundamental do cálculo? Final menos inicial! Bora lá!
Passo 10
Temos que:
Vamos cortar o que der para cortar e utilizar a propriedade do logaritmo para resolver aquele problema do , temos
Finalmente, resumindo, temos:
A questão foi isso! Te vejo na próxima heheheh