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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

1c) Calcule as integrais abaixo:

∫ 2 x - 1 x 2 - 3 x + 2   d x

Passo 1

Dá uma boa olhada nessa integral. Temos um polinômio dividido por outro de grau maior no denominador. Issa aí ó, tem cheiro de Integração por Frações Parciais. E saca só o denominador:

x 2 - 3 x + 2

Como é um polinômio de segundo grau, da fórmula de Bháskara, seja:

x 2 - 3 x + 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

Temos:

x 1 , 2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Completando os valores na expressão acima, vamos ter:

a = 1 b = - 3 c = 2

E logo:

x 1,2 = 3 ± - 3 2 - 4 . 1.2 2 . 1 = 3 ± 9 - 8 2

x 1,2 = 3 ± 1 2 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2 3 - 1 2 = 2 2 = 1

Logo, reescrevemos o denominador para:

x 2 - 3 x + 2 = x - 1 x - 2

E a integral para:

∫ 2 x - 1 x 2 - 3 x + 2   d x = ∫ 2 x - 1 x - 1 x - 2   d x

Passo 2

Beleza, mas até agora não resolvemos a questão. Mas, contudo, todavia, pelo método das frações parciais, podemos fazer:

∫ 2 x - 1 x - 1 x - 2   d x = ∫ A x - 1   d x + ∫ B x - 2   d x

Pra gente achar as constantes A e B , vamos ficar olhando só pro que tá dentro da integral agora:

2 x - 1 x - 1 x - 2 = A x - 1 + B x - 2

Bora colocar tudo no mesmo denominador pra tentar achar as constantes, beleza? Vamos lá:

2 x - 1 x - 1 x - 2 = A x - 2 x - 1 x - 2 + B x - 1 x - 1 x - 2

2 x - 1 x - 1 x - 2 = A x - 2 A x - 1 x - 2 + B x - B x - 1 x - 2

Tirando o denominador da jogada, temos:

2 x - 1 = A x - 2 A + B x - B

2 x + - 1 = A + B x + - 2 A - B

Montamos então o seguinte sistema de equações:

A + B = 2 - 2 A - B = - 1

Se somarmos as duas equações, achamos:

- A = 1

A = - 1

Concluímos que:

A = - 1 B = 3

E show de bola, fechamos a integral:

∫ 2 x - 1 x - 1 x - 2   d x = ∫ A x - 1   d x + ∫ B x - 2   d x

∫ 2 x - 1 x - 1 x - 2   d x = - ∫ 1 x - 1   d x + ∫ 3 x - 2   d x

∫ 1 x x - 1 d x = - ln ⁡ x - 1 + 3 ln ⁡ x - 2 + C

Resposta

∫ 1 x x - 1 d x = - ln ⁡ x - 1 + 3 ln ⁡ x - 2 + C

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