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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 6.4b

Calcule as integrais abaixo

∫ d x a + b cos ⁡ x + c sin ⁡ x d x

Passo 1

Para calcular a integral

∫ d x a + b cos ⁡ x + c sin ⁡ x d x

onde a, b e c são constantes, você pode utilizar a técnica de substituição trigonométrica. Vamos fazer a seguinte substituição:

t   =   t a n ( x / 2 ) ,

d t   =   1 2 s e c 2 x 2   d x ,

Note que:

s e c 2 ( x / 2 )   =   1   +   t a n 2 ( x / 2 )   =   1   +   t 2

Agora, podemos reescrever a integral em termos de t:

∫ d x a + b cos ⁡ x + c sin ⁡ x d x

  =   ∫ 2 a   * d t 1   +   b a   *   2   *   c o s x 2   +   c a   *   2   *   s i n x 2   d x

Agora, vamos usar as identidades trigonométricas:

2   *   c o s x 2   =   2   *   c o s 2   x 2   -   s i n 2 x 2   =   2   * 1   -   t 2 1   +   t 2

2   *   s i n x 2   =   2   *   2   *   s i n x 2   *   c o s x 2   =   4   * t 1   +   t 2

Passo 2

Substituindo essas expressões na integral:

∫ 2 a * d t 1   +   b a   *   2   *   c o s x 2   +   c a   *   2   *   s i n x 2   d x

=   ∫ 2 a * d t 1   +   b a *   2   * 1   -   t 2 1   +   t 2 +   c a *   4   * t 1   +   t 2

=   ∫ 2 a * d t 1   +   2 b a * 1   -   t 2 1   +   t 2 +   4 c a * t 1   +   t 2

Passo 3

Agora, combine os termos:

∫ 2 a *   d t 1   +   2 b a * 1   -   t 2 1   +   t 2 +   4 c a * t 1   +   t 2

=   ∫ 2 a *   d t 1   +   2 b   -   2 b * t 2 a   +   a t 2 +   4 c * t a   +   a t 2

Agora, some os termos no denominador:

1   +   2 b   -   2 b * t 2 a   +   a t 2 +   4 c * t a   +   a t 2

=   1   +   2 b   -   2 b * t 2 +   4 c * t a   +   a t 2 .

Passo 4

Agora, a integral fica:

∫ 2 a *   d t 1   +   2 b   -   2 b * t 2 +   4 c * t a   +   a t 2

=   ∫ 2 a *   d t 1   + 2 b   -   2 b * t 2 +   4 c * t a   +   a t 2

Passo 5

Agora, faça a substituição t   =   ( a   +   a t 2 )   /   ( 2 b   -   2 b * t 2   +   4 c * t ) , que é a inversa da substituição inicial t   =   t a n ( x / 2 ) .

Para isso, resolva para t:

t   = a   +   a t 2 2 b   -   2 b * t 2 +   4 c * t

t 2 b   -   2 b * t 2 +   4 c * t =   a   +   a t 2

2 b t   -   2 b t 3 +   4 c t 2 =   a   +   a t 2

- 2 b t 3 +   2 b   +   4 c t 2 -   2 b t   +   a   =   0

Esta é uma equação cúbica em t. Resolvendo-a para t, você obterá uma expressão para t em termos de a, b e c.

Uma vez que tenha essa expressão, você pode substituir de volta na integral e continuar a integração. No entanto, a resolução da equação cúbica é um processo complexo e envolve o uso de fórmulas específicas para equações cúbicas.

A solução final será uma função de t, que pode ser integrada em relação a t.

Resposta

Vide o passo a passo.

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