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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 51

Calcule as integrais indefinidas abaixo

51 .   ∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x

Mas como resolver ela?

Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais!

Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar separando em denominadores cujos fatores são os do denominador

3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 = A x - 1 + B x + C x 2 + 2 x + 3

E agora vamos fazer o m m c

= A x 2 + 2 x + 3 + ( B x + C ) x - 1 x - 1 x 2 + 2 x + 3

Fazendo os produtos notáveis e organizando os termos de mesmo grau temos

x 2 A + B + x 2 A - B + C + ( 3 A - C ) x - 1 x 2 + 2 x + 3

Beleza?

Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema triplo:

= A + B = 3 2 A - B + C = 5 3 A - C = 4

A , B , C :

A = 2

B = 1

C = 2

E nossa integral viram duas!

∫ 3 x 2 + 5 x + 4 x 3 + x 2 + x - 3 d x = 2 ∫ d x x - 1 + ∫ ( x + 2 ) d x x 2 + 2 x + 3

Passo 3

Agora vamos integrar!

2 ∫ d x x - 1 + ∫ ( x + 2 ) d x x 2 + 2 x + 3

A integral mais à esquerda é por substituição simples usando u = x - 1 . Já a da direita vamos precisar trabalhar pouco com ela. Vamos primeiro completar quadrado e chamar u = x + 1

= 2 ln ⁡ | x - 1 | + ∫ u + 1 u 2 + 2 d u = 2 ln ⁡ | x - 1 | + ∫ u u 2 + 2 d u + ∫ 1 u 2 + 2 d u

Beleza? Agora sim vamos integrar! Chamando de v = u 2 + 2 → d v 2 = u   d u , e a integral mais à direita é a do arco tangente de u / 2 !

= 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ∫ d v v + arctan ⁡ u 2

Agora integrando temos

2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ u 2 + 2 + arctan ⁡ u 2

E por fim voltando para a variável original

u = x - 1

Nosso resultado fica

2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ ( x - 1 ) 2 + 2 + arctan ⁡ x - 1 2 + C

Não esquece de colocar o + C no final!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ ( x - 1 ) 2 + 2 + arctan ⁡ x - 1 2 + C

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