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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

USP – Cálculo 3 – Revisão de Integrais – Lista 0 – Questão 70

Calcule as integrais indefinidas abaixo

70 .   ∫ x + 1 x 2 ( x 2 + 4 ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ x + 1 x 2 ( x 2 + 4 ) d x

Mas como resolver ela?

Quando temos uma razão de polinômios e o grau do denominador é maior do que o grau do numerador usamos a técnica de: frações parciais!

Depois de separar em frações menores aí sim vamos integrar!

Beleza?

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar separando em denominadores cujos fatores são os do denominador

x + 1 x 2 ( x 2 + 4 ) = A x + B x 2 + C x + D x 2 + 4

E agora vamos fazer o m m c

= A x x 2 + 4 + B x 2 + 4 + x 2 ( C x + D ) x 2 ( x 2 + 4 )

Fazendo os produtos notáveis e organizando os termos de mesmo grau temos

x 3 A + C + x 2 B + D + x 4 A + ( 4 B ) x 2 ( x 2 + 4 )

Beleza?

Agora é só igualar os coeficientes dos termos de mesma ordem! Ficamos com um sistema:

= A + C = 0 B + D = 0 4 A = 1 4 B = 1

Resolvendo esse sistema vamos encontrar os seguintes valores para A , B , C ,   D :

A = 1 4

B = 1 4

C = - 1 4

D = - 1 4

E nossa integral viram em quatro!

∫ x + 1 x 2 ( x 2 + 4 ) d x = 1 4 ∫ d x x + 1 4 ∫ 1 x 2 d x - 1 4 ∫ x   d x x 2 + 4 - 1 4 ∫ d x ( x 2 + 4 )

Passo 3

Agora vamos integrar! As duas primeiras e a última integramos direto com fórmulas da tabela! A terceira vamos usar substituição simples u = x 2 + 4 , d u 2 = x   d x , aí temos

D i g i t e   a   e q u a ç ã o   a q u i .

Lembrando que a integral mais à direita é a do arco tangente de x / 2 !

= 1 4 ln ⁡ x - 1 4 x - 1 4 . 1 2 ∫ d u u - 1 4 . 1 2 arctan ⁡ x 2

Agora integrando temos

1 4 ln ⁡ | x | - 1 4 x - 1 8 ln ⁡ x 2 + 4 - 1 8 arctan ⁡ x 2 + C

Não esquece de colocar o + C no final!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 4 ln ⁡ | x | - 1 4 x - 1 8 ln ⁡ x 2 + 4 - 1 8 arctan ⁡ x 2 + C

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