UnB; Cálculo 1; Lista Semana 17; “Reviso - Frações Parciais; Comprimento de arco e área”; Exercício 18e
18) Calcule as integrais seguintes:
(e)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício clássico de Integral por Frações Parciais. Sabemos que é uma Integral desse tipo porque a integral dessa função não pode ser calculada nem diretamente, nem por substituição de variável e nem por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações, e então, integraremos membro a membro.
Uma dica valiosa para esse tipo de integral é que, sempre que possível, devemos abrir o denominador original da função em similares à .
Como assim?
Vamos olhar isoladamente para o denominador da função:
Isso pode ser substituído por:
Considerando que e .
Como já nos fala a regra das frações parciais, para cada fator presente no denominador original (por enquanto chamamos de e ), criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador (normalmente chamamos de ).
Ótimo! Então, qual é a cara que a nossa função terá? Será algo do tipo:
Com certeza você deve estar se perguntando... Vamos deixar como um denominador?
Vamos olhar para ele no detalhe:
nada mais é que . E se chamarmos , encontraremos:
Ou seja, abriremos uma fração com o fator original (essa fração até já existe, ) e abriremos outra com o numerador e denominador .
Nossa função agora é:
Passo 2
O que precisamos, a partir de agora, é definir , e .
Relembrando, nossa função começou assim:
Agora já temos:
Como precisamos encontrar , e , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Dessa forma, o lado esquerdo da igualdade será apenas e poderemos evoluir com as letrinhas:
Como já era esperado, no lado esquerdo da igualdade podemos cortar o denominador. Já no lado direito, cada um dos denominadores será cortado por um dos termos, ficando algo desse tipo:
Bacana, ficou como esperávamos né?
Uma coisa que fica claro é que podemos aplicar distributiva para multiplicar as letras pelos parênteses no lado direito da equação:
Perceba que temos outra distributiva ainda, que é a multiplicação entre os parênteses:
Para deixar mais organizado, vamos deixar os termos quadráticos no começo, os de 1º grau na sequência e os termos sem por último:
Claro que essa organização não é à toa!
Do lado esquerdo da equação, temos acompanhando os termos de segundo grau e acompanhando os termos de primeiro grau e como termo independente. Como se fosse:
Portanto, vamos juntar o termo independente do lado esquerdo da equação com o termo independente do lado direito:
Ótimo, encontramos !
Da mesma forma acontecerá para o número que acompanha a variável de 1º grau:
Substituindo o conhecido :
E como não poderia ser diferente, para os fatores de segundo grau:
Agora só precisamos encontrar :
Passo 3
Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:
Calma, agora partiremos para a integral de fato!
Como há subtrações entre as frações, podemos dividir essa integral:
A partir de agora, olharemos para as integrais de maneira individual:
Essa integral pode ser facilmente resolvida pela tabela de substituição direta.
Ficando:
Próxima integral:
Essa integral, resolveremos por substituição:
Se ,
Ficando:
Aplicando a integração sobre :
Retornando para as variáveis iniciais:
Última integral:
Da mesma forma, resolveremos por substituição:
Se ,
Ficando:
Retornando:
Passo 4
Por fim, vamos juntar tudo. Ah, não podemos esquecer da Constante de Integração!
Caso queira, podemos fazer uma simplificação usando as propriedades de :
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?