UnB; Cálculo 1; Lista Semana 17; “Reviso - Frações Parciais; Comprimento de arco e área”; Exercício 18h
18) Calcule as integrais seguintes:
(h)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Vamos lá, pessoal! Esse é um exercício clássico de Integral por Frações Parciais. Sabemos que é uma Integral desse tipo porque a integral dessa função não pode ser calculada nem diretamente, nem por substituição de variável e nem por partes. Neste caso, devemos decompor o integrando em uma soma de frações, e então, integraremos membro a membro.
A primeira coisa que faremos é fatorar o denominador. A ideia é simplificar a função. Uma coisa que você com certeza já percebeu é que é um produto notável:
Portanto, podemos utilizar:
Veja:
Agora nossa função é:
Como já nos fala a regra das frações parciais, para cada fator presente no denominador original, criaremos uma fração utilizando o fator como denominador, e um valor desconhecido como numerador (normalmente chamamos de ).
Ótimo! Então, qual é a cara que a nossa função terá? Será algo do tipo:
Perceba que o fator é de segundo grau, ou de segunda ordem. Por isso, se faz necessário inserir variáveis no numerador (colocamos e ).
Passo 2
O que precisamos, a partir de agora, é definir , e .
Como precisamos encontrar , e , vamos multiplicar o denominador da função original em todos os termos dessa igualdade. Dessa forma, o lado esquerdo da igualdade será apenas e poderemos evoluir com as letrinhas:
Como já era esperado, no lado esquerdo da igualdade podemos cortar o denominador. Já no lado direito, cada um dos denominadores será cortado por um dos termos, ficando algo desse tipo:
Bacana, ficou como esperávamos né?
Uma coisa que fica claro é que podemos aplicar distributiva para multiplicar as letras pelos parênteses no lado direito da equação:
Para deixar mais organizado, vamos deixar os termos quadráticos no começo, os de 1º grau na sequência e os termos sem por último:
Claro que essa organização não é à toa!
Do lado esquerdo da equação, temos acompanhando os termos de segundo grau e acompanhando os termos de primeiro grau e como termo independente. Como se fosse:
Portanto, vamos juntar o termo independente do lado esquerdo da equação com o termo independente do lado direito:
Ótimo, encontramos !
Da mesma forma acontecerá para o número que acompanha a variável de 2º grau:
E como não poderia ser diferente, para os fatores de primeiro grau:
Como conhecemos vamos substituir para :
Por fim, vamos descobrir :
Passo 3
Olha só! Conseguimos finalmente transformar a nossa função original em uma função com frações parciais:
Calma, agora partiremos para a integral de fato!
Como há subtração entre as frações, podemos dividir essa integral:
Em ambas, temos como constantes que podemos retirar da integral:
A partir de agora, olharemos para as integrais de maneira individual:
Essa integral pode ser facilmente resolvida por substituição:
Se ,
Retornando para as variáveis iniciais:
Próxima integral:
Essa integral é bem complexa, por conta de o denominador não poder ser fatorado. Se você tentar encontrar as raízes, perceberá que estarão fora do campo dos números reais.
Por conta disso, precisamos prever uma substituição possível.
Legal, está tudo certo até agora... Mas como assim prever?
Para chamarmos o denominador de , o resto da integral precisa ser :
Se , .
Chegamos no primeiro obstáculo. Não temos na integral e sim .
Para termos , podemos multiplicar o numerador por e dividir a constante fora da integral por .
Vamos nessa!
Ok, mas e esse ?
Precisamos de , correto? nada mais é que . Então vamos utilizar isso:
Legal! Agora vamos dividir essa integral em duas, para obter a nossa previsão:
Perceba que é constante em relação à , então vamos retirar:
Vamos retomar os cálculos:
Esse é, então, um caso de substituição, conforme previmos:
Se ,
Retornando as variáveis:
Partiremos para a última integral:
Se você rodar toda a tabela de integrais, perceberá que a única forma de desenvolver essa integral será com:
Como assim?
é a parte com . No nosso caso, precisamos encontrar um quadrado perfeito que não altere os valores que acompanham .
Podemos considerar, por exemplo:
Isso pode ser reescrito como:
Legal! Perceba que agora temos:
Além disso, precisamos reescrever em forma de potência ao quadrado:
Aplicando a integral
Simplificando:
Passo 4
Por fim, vamos juntar tudo. Ah, não podemos esquecer da constante de integração:
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?