UFJF – Cálculo 2 – Lista, 2022.2 – 1d
Calcule as integrais:
d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente resolver a integral:
A primeira coisa que a gente pode pensar é em tentar usar substituição simples ou trigonométrica, mas nesse caso nenhuma delas ajuda a gente.
Repara que nós temos uma função em que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador. O que é o grau mesmo?
O grau de um polinômio é simplesmente o seu maior expoente, no nosso caso o denominador tem grau . Beleza, mas e daí? E daí que sempre que isso acontecer, a gente pode pensar em usar o método de frações parciais. Mas o que é esse método?
O método das frações parciais é um método dá pra gente “quebrar” uma fração que seja difícil de integrar, em duas ou mais frações mais simples de integrar.
No nosso caso, nós temos o denominador com um fator linear e um fator quadrático irredutível . O que é isso? Um fator irredutível é um fator que não dá pra simplificar, não podemos fatorá-lo em termos de fatores lineares. E uma maneira de testar isso é calculando o discriminante (o famoso ):
Pronto, deu negativo, então nesse caso é um fator quadrático irredutível. Mas porque eu tô falando isso?
Porque quando a gente tem algo assim, as nossas frações parciais vão ser desmembradas dessa forma:
Então, na fração correspondente ao termo quadrático, em vez de só uma constante , aparece um termo , beleza?
Agora vamos resolver essa belezinha pra determinar , e e em seguida resolver nossa integral!
Passo 2
Temos:
Tirando o M.M.C. do lado direito, colocamos os termos do segundo lado em um mesmo denominador:
Portanto, teremos que:
Como nosso denominador é igual, podemos comparar os termos do numerador:
Nós vamos igualar os coeficientes de todo mundo que multiplica , todo mundo que multiplica e assim por diante:
Do sistema, nós podemos tirar e
Substituindo em :
Encontramos nossos coeficientes!
Passo 3
Agora podemos substituir , e em:
E finalmente podemos integrar dos dois lados:
Podemos separar o lado direito em duas integrais, porque a integral da soma é a soma das integrais, lembra dessa propriedade? Então:
A primeira integral do lado direito nós sabemos que é , mas a segunda é mais complicadinha. Então vamos resolver ela separadamente.
Passo 4
Temos:
Podemos também separar em duas:
Em , podemos chamar:
Derivando:
Substituindo na integral:
Colocando a constante do lado de fora da integral:
Resolvendo:
Voltando pra variável que nós substituímos:
Agora para , nós precisamos nos lembrar da integral tabelada:
Então, no nosso caso:
Juntando tudo, a nossa integral do início do passo é:
Nós podemos juntar e em uma única constante :
Agora só falta juntar isso na nossa integral original, que nós vimos no passo :
E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉