Calcule as integrais:

d) ∫ 2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) d x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente resolver a integral:

∫ 2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) d x

A primeira coisa que a gente pode pensar é em tentar usar substituição simples ou trigonométrica, mas nesse caso nenhuma delas ajuda a gente.

Repara que nós temos uma função em que o grau do denominador é maior do que o grau do numerador. O que é o grau mesmo?

O grau de um polinômio é simplesmente o seu maior expoente, no nosso caso o denominador x x 2 + 4 = x 3 + 4 x tem grau 3 . Beleza, mas e daí? E daí que sempre que isso acontecer, a gente pode pensar em usar o método de frações parciais. Mas o que é esse método?

O método das frações parciais é um método dá pra gente “quebrar” uma fração que seja difícil de integrar, em duas ou mais frações mais simples de integrar.

No nosso caso, nós temos o denominador com um fator linear x e um fator quadrático irredutível x 2 + 4 . O que é isso? Um fator irredutível é um fator que não dá pra simplificar, não podemos fatorá-lo em termos de fatores lineares. E uma maneira de testar isso é calculando o discriminante (o famoso Δ ):

x 2 + 4 → Δ = 0 2 - 4 ( 1 ) ( 4 )

Δ = 0 - 16 = - 16 < 0

Pronto, deu negativo, então nesse caso x 2 + 4 é um fator quadrático irredutível. Mas porque eu tô falando isso?

Porque quando a gente tem algo assim, as nossas frações parciais vão ser desmembradas dessa forma:

2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) = A x + B x + C x 2 + 4

Então, na fração correspondente ao termo quadrático, em vez de só uma constante B , aparece um termo B x + C , beleza?

Agora vamos resolver essa belezinha pra determinar A , B e C e em seguida resolver nossa integral!

Passo 2

Temos:

2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) = A x + B x + C x 2 + 4

Tirando o M.M.C. do lado direito, colocamos os termos do segundo lado em um mesmo denominador:

A x + B x + C x 2 + 4 = A x 2 + 4 + B x + C x x ( x 2 + 4 )

Portanto, teremos que:

2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) = A x 2 + 4 + B x + C x x ( x 2 + 4 )

Como nosso denominador é igual, podemos comparar os termos do numerador:

2 x 2 - x + 4 = A x 2 + 4 + B x + C x

2 x 2 - x + 4 = A x 2 + 4 A + B x 2 + C x

Nós vamos igualar os coeficientes de todo mundo que multiplica x 2 , todo mundo que multiplica x e assim por diante:

→   2 x 2 = A x 2 + B x 2 - x = C x 4 = 4 A →     A + B = 2 C = - 1 4 A = 4

Do sistema, nós podemos tirar C = - 1 e

4 A = 4 → A = 1

Substituindo A em A + B = 2 :

1 + B = 2 → B = 1

Encontramos nossos coeficientes!

Passo 3

Agora podemos substituir A = 1 , B = 1 e C = - 1 em:

2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) = A x + B x + C x 2 + 4

→         2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) = 1 x + x - 1 x 2 + 4

E finalmente podemos integrar dos dois lados:

∫ 2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) d x = ∫ 1 x + x - 1 x 2 + 4 d x

Podemos separar o lado direito em duas integrais, porque a integral da soma é a soma das integrais, lembra dessa propriedade? Então:

∫ 2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) d x = ∫ 1 x d x + ∫ x - 1 x 2 + 4 d x

A primeira integral do lado direito nós sabemos que é ln ⁡ x + C , mas a segunda é mais complicadinha. Então vamos resolver ela separadamente.

Passo 4

Temos:

∫ x - 1 x 2 + 4

Podemos também separar em duas:

∫ x - 1 x 2 + 4 = ∫ x x 2 + 4 d x - ∫ 1 x 2 + 4 d x

Em ∫ x x 2 + 4 d x , podemos chamar:

u = x 2 + 4

Derivando:

d u = 2 x   d x → 1 2 d u = x d x

Substituindo na integral:

∫ x x 2 + 4 d x = ∫ 1 2 d u u

Colocando a constante do lado de fora da integral:

= 1 2 ∫ 1 u d u

Resolvendo:

= ln ⁡ u 2 + C 1

Voltando pra variável x que nós substituímos:

= ln ⁡ x 2 + 4 2 + C 1

Agora para ∫ 1 x 2 + 4 d x , nós precisamos nos lembrar da integral tabelada:

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C

Então, no nosso caso:

∫ 1 x 2 + 4 d x = 1 2 arctan ⁡ x 2 + C 2

Juntando tudo, a nossa integral do início do passo é:

∫ x - 1 x 2 + 4 = ∫ x x 2 + 4 d x - ∫ 1 x 2 + 4 d x

= ln ⁡ x 2 + 4 2 + C 1 - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C 2

Nós podemos juntar C 1 e C 2 em uma única constante C :

∫ x - 1 x 2 + 4 = ln ⁡ x 2 + 4 2 - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

Agora só falta juntar isso na nossa integral original, que nós vimos no passo 3 :

∫ 2 x 2 - x + 4 x ( x 2 + 4 ) d x = ln ⁡ x + ln ⁡ x 2 + 4 2 - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉

Resposta

ln ⁡ x + ln ⁡ x 2 + 4 2 - 1 2 arctan ⁡ x 2 + C

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