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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFSC – Lista 4.10 – 1a

Calcule a integral.

∫ x x 2 + x + 1 d x

Passo 1

Para facilitar nosso cálculo, a gente faz essa transformação:

x 2 + x + 1 = x 2 + x + 1 4 + 3 4 = x + 1 2 2 + 3 2 2

Assim, a gente esboça a seguinte figura:

Passo 2

A gente tem que x + 1 2 = 3 2 tg ⁡ θ . Assim, se fizermos a derivada de x , a gente tem d x = 3 2 sec 2 ⁡ θ d θ e temos x 2 + x + 1 = 3 2 sec ⁡ θ .

Passo 3

Assim, o valor da nossa integral é:

∫ x x 2 + x + 1 d x = ∫ 3 2 tg ⁡ θ - 1 2 3 2 sec ⁡ θ 3 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 3 2 tg ⁡ θ - 1 2 sec ⁡ θ d θ =

∫ 3 2 tg ⁡ θ sec ⁡ θ d θ - ∫ 1 2 sec ⁡ θ d θ = 3 2 sec ⁡ θ - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + C 1 =

x 2 + x + 1 - 1 2 ln ⁡ 2 3 x 2 + x + 1 + 2 3 x + 1 2 + C 1 =  

x 2 + x + 1 - 1 2 ln ⁡ 2 3 x 2 + x + 1 + x + 1 2 + C 1 =

x 2 + x + 1 - 1 2 ln ⁡ 2 3 - 1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 + x + 1 2 + C 1 =

x 2 + x + 1 - 1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 + x + 1 2 + C

Onde C = C 1 - 1 2 ln ⁡ 2 3 .

Resposta

x 2 + x + 1 - 1 2 ln ⁡ x 2 + x + 1 + x + 1 2 + C .

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