Calcule a integral.

∫ 10 ( x - 1 ) ( x 2 + 9 )   d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais. Decompondo os fatores, temos que

10 x - 1 x 2 + 9 = A x - 1 + B x + C x 2 + 9

Assim,

10 ( x - 1 ) ( x 2 + 9 ) = A x 2 + 9 + ( B x + C ) ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x 2 + 9 )

Portanto,

A + B x 2 + - B + C x + 9 A - C = 10

Assim,

A + B = 0 - B + C = 0 9 A - C = 10

Temos então que B = C = - A . Assim, 9 A - - A = 10 ⇒ A = 1 . Portanto, B = C = - 1 . Assim,

10 x - 1 x 2 + 9 = 1 x - 1 - x x 2 + 9 - 1 x 2 + 9

Passo 2

Desta forma, a integral será

∫ 10 x - 1 x 2 + 9   d x = ∫ 1 x - 1 d x - ∫ x x 2 + 9 d x - ∫ 1 x 2 + 9 d x

A primeira integral é simples e será igual a ln ⁡ | x | . Já a segunda é calculada fazendo u = x 2 + 9 ⇒ d u = 2 x   d x :

∫ x x 2 + 9 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ | u | = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 9 )

Por fim, a última integral é facilitada fazendo x = 3 t ⇒ d x = 3   d t . Desta forma,

∫ 1 x 2 + 9 d x = ∫ 1 9 t 2 + 9   3   d t = 1 3 ∫ 1 t 2 + 1 d t = 1 3 a r c t g   t = 1 3 a r c t g   x 3

Passo 3

Desta forma,

∫ x 2 - x + 6 x 3 + 3 x   d x = ln ⁡ | x - 1 | - 1 2 ln ⁡ x 2 + 9 - 1 3 a r c t g   x 3

Resposta

ln ⁡ | x - 1 | - 1 2 ln ⁡ x 2 + 9 - 1 3 a r c t g   x 3

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