UFSC – Lista 4.10 – 1b
Calcule a integral.
Passo 1
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão, se formos tentar achar as raízes do denominador vamos ver que o é negativo, assim não temos raízes reais, vamos tentar então ajustar o denominador, vamos reescrever ele na forma , assim vamos fazer essa modificação:
Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição Trigonométrica, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos uma expressão da forma , podemos então usar a mudança de variável usando o termo dentro do quadrado:
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Passo 2
Aqui podemos usar a identidade trigonométrica , vamos lá:
Pronto, agora vamos usar mais um artifício, vamos deixar tudo em função de seno e cosseno:
Aqui usamos a identidade trigonométrica e vamos usar agora :
Pronto, agora é simples de resolver!
Passo 3
Vamos separar a expressão em quatro integrais, usando a Regra da Soma:
Vamos calcular cada uma separadamente:
A primeira é simples, para achar as primitivas da função, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Assim:
Passo 4
Com a segunda vamos fazer uma substituição, pois temos seno e cosseno nela, assim, podemos usar como seno, pois como a derivada de seno é dar cosseno fica simples a substituição:
O que nos dá:
Vamos substituir:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 5
Com a terceira é o mesmo esquema da primeira, temos uma constante dentro da integral, assim:
E por último a quarta integral, vamos fazer uma substituição também, pois o cosseno possui uma constante dentro dele:
Derivando:
Vamos substituir:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Aplicando:
Pronto, agora é só juntar tudo:
Passo 6
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:
Para voltar para vamos isolar ele aqui na substituição que fizemos lá em cima:
Assim: