Calcule a integral.

∫ x 2 + 1 x 2 - 2 x + 2 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar simplificar a expressão, se formos tentar achar as raízes do denominador vamos ver que o é negativo, assim não temos raízes reais, vamos tentar então ajustar o denominador, vamos reescrever ele na forma x 2 - 2 x + 1 + 1 = x 2 - 2 x + 1 + 1 = x - 1 2 + 1 , assim vamos fazer essa modificação:

∫ x 2 + 1 x 2 - 2 x + 2 2 d x = ∫ x 2 + 1 x - 1 2 + 1 d x

Bem, agora podemos usar a Regra da Substituição Trigonométrica, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos uma expressão da forma x 2 + a 2 , podemos então usar a mudança de variável usando o termo dentro do quadrado:

x - 1 = a tg ⁡ θ = 1 . tg ⁡ θ = tg ⁡ θ → x = tg ⁡ θ + 1

Vamos agora achar diferencial de x , derivando:

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 2 + 1 x - 1 2 + 1 2 = ∫ tg ⁡ θ + 1 2 + 1 tg 2 ⁡ θ + 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Aqui podemos usar a identidade trigonométrica tg 2 ⁡ θ + 1 = sec 2 ⁡ θ , vamos lá:

∫ tg ⁡ θ + 1 2 + 1 tg 2 ⁡ θ + 1 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 1 + 1 sec 2 ⁡ θ 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 2 sec 4 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 2 sec 2 ⁡ θ d θ

Pronto, agora vamos usar mais um artifício, vamos deixar tudo em função de seno e cosseno:

∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 2 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 1 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 2 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Aqui usamos a identidade trigonométrica sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 e vamos usar agora cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 :

∫ 1 + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ 1 + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 1 + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Pronto, agora é simples de resolver!

Passo 3

Vamos separar a expressão em quatro integrais, usando a Regra da Soma:

∫ 1 + 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 1 2 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ 1 d θ + ∫ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ + ∫ 1 2 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ

Vamos calcular cada uma separadamente:

A primeira é simples, para achar as primitivas da função, vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Assim:

∫ 1 d θ = θ + C

Passo 4

Com a segunda vamos fazer uma substituição, pois temos seno e cosseno nela, assim, podemos usar u como seno, pois como a derivada de seno é dar cosseno fica simples a substituição:

u = sen ⁡ θ

O que nos dá:

d u = cos ⁡ θ d θ

Vamos substituir:

∫ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = ∫ 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ 2 u d u = 2 ∫ u d u = 2 . u 1 + 1 1 + 1 + C = 2 u 2 2 + C = u 2 + C

Passo 5

Com a terceira é o mesmo esquema da primeira, temos uma constante dentro da integral, assim:

∫ 1 2 d θ = 1 2 θ + C

E por último a quarta integral, vamos fazer uma substituição também, pois o cosseno possui uma constante dentro dele:

u = 2 θ

Derivando:

d u = 2 d θ → d θ = d u 2

Vamos substituir:

∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = ∫ cos ⁡ u 4 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ cos ⁡ x d x = sen ⁡ x + C

Aplicando:

∫ cos ⁡ u 4 d u = 1 4 ∫ cos ⁡ u d u = 1 4 sen ⁡ u + C

Pronto, agora é só juntar tudo:

∫ 1 d θ + ∫ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ + ∫ 1 2 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = θ + u 2 + 1 2 θ + 1 4 sen ⁡ u + C = u 2 + 3 2 θ + 1 4 sen ⁡ u + C

Passo 6

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ 1 d θ + ∫ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ + ∫ 1 2 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = u 2 + 3 2 θ + 1 4 sen ⁡ u + C = sen 2 ⁡ θ + 3 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ + C

Para voltar para x vamos isolar ele aqui na substituição que fizemos lá em cima:

x - 1 = tg ⁡ θ → θ = arctg ⁡ x - 1

Assim:

∫ 1 d θ + ∫ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ + ∫ 1 2 d θ + ∫ cos ⁡ 2 θ 2 d θ = sen 2 ⁡ θ + 3 2 θ + 1 4 sen ⁡ 2 θ + C = sen 2 ⁡ arctg ⁡ x - 1 + 3 2 arctg ⁡ x - 1 + 1 4 sen ⁡ 2 arctg ⁡ x - 1 + C

Resposta

∫ x 2 + 1 x 2 - 2 x + 2 2 d x = sen 2 ⁡ arctg ⁡ x - 1 + 3 2 arctg ⁡ x - 1 + 1 4 sen ⁡ 2 arctg ⁡ x - 1 + C

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