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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 7.1

7.1. Calcule a integral

∫ 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 d x

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema temos apenas que obter a integral da função

f x = 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6

E aí, parece de boa? 😉

A melhor maneira de se obter essa integral é separando-a em frações parciais.

Pra isso, precisamos fatorar o polinômio do denominador.

Bora começar! 😁

Passo 2

Podemos fatorar o polinômio x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 como

x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 = x - 2 x - 3 x 2 + x + 1

Separando as frações, vamos obter

1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 = A x - 2 + B x - 3 + C x + D x 2 + x + 1

1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 = A x - 3 x 2 + x + 1 + B x - 2 x 2 + x + 1 + ( C x + D ) x - 2 x - 3 x - 2 x - 3 x 2 + x + 1

Como x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 = x - 2 x - 3 x 2 + x + 1 , podemos simplificar os dois denominadores

1 = A x - 3 x 2 + x + 1 + B x - 2 x 2 + x + 1 + ( C x + D ) x - 2 x - 3

Desenvolvendo esses produtos, temos

1 = A x 3 + x 2 + x - 3 x 2 - 3 x - 3 + B x 3 + x 2 + x - 2 x 2 - 2 x - 2 + C x + D x 2 - 5 x + 6

1 = A x 3 - 2 x 2 - 2 x - 3 + B x 3 - x 2 - x - 2 + C x 3 - 5 x 2 + 6 x + D x 2 - 5 x + 6

1 = A x 3 - 2 A x 2 - 2 A x - 3 A + B x 3 - B x 2 - B x - 2 B + C x 3 - 5 C x 2 + 6 C x + D x 2 - 5 D x + 6 D

1 = A + B + C x 3 + - 2 A - B - 5 C + D x 2 + - 2 A - B + 6 C - 5 D x + - 3 A - 2 B + 6 D

Dessa forma, por igualdade polinomial, temos que

A + B + C = 0 - 2 A - B - 5 C + D = 0 - 2 A - B + 6 C - 5 D = 0 - 3 A - 2 B + 6 D = 1

Tudo certo até aqui? 👀

Passo 3

Temos que resolver esse sistema para obter A , B , C e D

1 1 1 0 - 2 - 1 - 5 1 - 2 - 1 6 - 5 - 3 - 2 0 6 0 0 0 1

Substituindo a segunda e a terceira linha pela soma com 2 L 1 e a quarta linha pela soma com 3 L 1 ...

1 1 1 0 - 2 - 1 - 5 1 - 2 - 1 6 - 5 - 3 - 2 0 6 0 0 0 1 L 2 → L 2 + 2 L 1 L 3 → L 3 + 2 L 1 L 4 → L 4 + 3 L 1 → 1 1 1 0 - 2 + 2 - 1 + 2 - 5 + 2 1 - 2 + 2 - 1 + 2 6 + 2 - 5 - 3 + 3 - 2 + 3 0 + 3 6 0 0 0 1

1 1 1 0 0 1 - 3 1 0 1 8 - 5 0 1 3 6 0 0 0 1

Agora subtraindo L 2 de todas as linhas, vamos ter

1 1 1 0 0 1 - 3 1 0 1 8 - 5 0 1 3 6 0 0 0 1 L 1 → L 1 - L 2 L 3 → L 3 - L 2 L 4 → L 4 - L 2 → 1 1 - 1 1 - - 3 0 - 1 0 1 - 3 1 0 1 - 1 8 - - 3 - 5 - 1 0 1 - 1 3 - - 3 6 - 1 0 0 0 1

1 0 4 - 1 0 1 - 3 1 0 0 11 - 6 0 0 6 5 0 0 0 1

Dividindo a linha 3 por 11 , vamos obter

1 0 4 - 1 0 1 - 3 1 0 0 1 - 6 11 0 0 6 5 0 0 0 1

Entendeu essa parte? 😎

Passo 4

Agora vamos subtrair 4 L 3 da linha 1 , somar 3 L 3 na linha 2 e subtrair 6 L 3 da linha 4 ...

1 0 4 - 1 0 1 - 3 1 0 0 1 - 6 11 0 0 6 5 0 0 0 1 L 1 → L 1 - 4 L 3 L 2 → L 2 + 3 L 3 L 4 → L 4 - 6 L 3 → 1 0 4 - 4 - 1 - - 4 6 11 0 1 - 3 + 3 1 + - 3 6 11 0 0 1 - 6 11 0 0 6 - 6 5 - - 6 6 11 0 0 0 1

1 0 0 13 11 0 1 0 - 7 11 0 0 1 - 6 11 0 0 0 91 11 0 0 0 1

Multiplicando a linha 4 por 11 91 ...

1 0 0 13 11 0 1 0 - 7 11 0 0 1 - 6 11 0 0 0 91 11 · 11 91 0 0 0 1 · 11 91 → 1 0 0 13 11 0 1 0 - 7 11 0 0 1 - 6 11 0 0 0 1 0 0 0 11 91

E finalmente, subtraindo 13 11 L 4 da linha 1 , somando 7 11 L 4 da linha 2 e 6 11 L 4 da linha 3 ...

1 0 0 13 11 0 1 0 - 7 11 0 0 1 - 6 11 0 0 0 1 0 0 0 11 91 L 1 → L 1 - 13 11 L 4 L 2 → L 2 + 7 11 L 4 L 3 → L 3 + 6 11 L 4 → 1 0 0 13 11 - 13 11 0 1 0 - 7 11 + 7 11 0 0 1 - 6 11 + 6 11 0 0 0 1 0 - 13 11 · 11 91 0 + 7 11 · 11 91 0 + 6 11 · 11 91 11 91

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 13 91 7 91 6 91 11 91 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 1 7 1 13 6 91 11 91

Assim, como cada linha corresponde a uma constante, temos que

A = - 1 7 B = 1 13 C = 6 91 D = 11 91

Legal, né? 😊

Passo 5

Substituindo f x pelas suas frações parciais na integral, vamos obter

f x = 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 = A x - 2 + B x - 3 + C x + D x 2 + x + 1

f x = 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 = - 1 7 · 1 x - 2 + 1 13 · 1 x - 3 + 6 91 · x x 2 + x + 1 + 11 91 · 1 x 2 + x + 1

Substituindo na integral...

∫ 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 d x = ∫ - 1 7 · 1 x - 2 + 1 13 · 1 x - 3 + 6 91 · x x 2 + x + 1 + 11 91 · 1 x 2 + x + 1 d x

- 1 7 ∫ 1 x - 2 d x + 1 13 ∫ 1 x - 3 d x + 6 91 ∫ x x 2 + x + 1 d x + 11 91 ∫ 1 x 2 + x + 1 d x

Calculando cada integral separadamente, temos que pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de 1 x + a é dada por

∫ 1 x + a d x = ln ⁡ x + a + C

Portanto podemos dizer que

- 1 7 ∫ 1 x - 2 d x = - 1 7 ln ⁡ x - 2 + C

1 13 ∫ 1 x - 3 d x = 1 13 ln ⁡ x - 3 + C

Relaxa que estamos chegando ao fim! 🤞

Passo 6

Para calcular a integral ∫ x x 2 + x + 1 d x , vamos simplificar o polinômio no denominador por

x 2 + x + 1 = x + 1 2 2 + 3 4

∫ x x 2 + x + 1 d x = ∫ x x + 1 2 2 + 3 4 d x

Se fizermos u =   x + 1 2 , d x = d u ... ou seja

∫ u - 1 2 u 2 + 3 4 d u

Multiplicando em cima e em baixo por 4 , temos

∫ u - 1 2 4 u 2 + 3 4 4 d u → ∫ 4 u - 2 4 u 2 + 3 d u = ∫ 4 u 4 u 2 + 3 d u - ∫ 2 4 u 2 + 3 d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ 4 u 4 u 2 + 3 d u = 1 2 ln ⁡ 4 u 2 + 3 + C

∫ 2 4 u 2 + 3 d u = 1 3 a r c t g 2 3 u + C

Voltando u para x + 1 2

∫ x x 2 + x + 1 d x = ∫ x x + 1 2 2 + 3 4 d x = 1 2 ln ⁡ 4 x + 1 2 2 + 3 - 1 3 a r c t g 2 3 x + 1 2 + C

Complicadinho, né 👀

Passo 7

Para a última integral, temos que fazer a mesma simplificação no numerador

∫ 1 x 2 + x + 1 d x = ∫ 1 x + 1 2 2 + 3 4 d x

Agora que já sabemos o que temos que fazer, já podemos passar para o estágio final

∫ 1 u 2 + 3 4 d x → ∫ 4 4 u 2 + 3 d x = 2 3 a r c t g 2 3 u + C

∫ 1 x 2 + x + 1 d x = 2 3 a r c t g 2 3 x + 1 2 + C

Substituindo em na primeira integral do problema, temos

∫ 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 d x = - 1 7 ∫ 1 x - 2 d x + 1 13 ∫ 1 x - 3 d x + 6 91 ∫ x x 2 + x + 1 d x + 11 91 ∫ 1 x 2 + x + 1 d x

∫ 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 d x = - 1 7 ln ⁡ x - 2 + 1 13 ln ⁡ x - 3 + 6 91 1 2 ln ⁡ 4 x + 1 2 2 + 3 - 1 3 a r c t g 2 3 x + 1 2 + 11 91 2 3 a r c t g 2 3 x + 1 2

∫ 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 d x = - 1 7 ln ⁡ x - 2 + 1 13 ln ⁡ x - 3 + 6 182 ln ⁡ 4 x + 1 2 2 + 3 - 6 91 3 a r c t g 2 x + 1 3 + 11 91 3 a r c t g 2 x + 1 3 + C

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 1 x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + x + 6 d x = - 1 7 ln ⁡ x - 2 + 1 13 ln ⁡ x - 3 + 6 182 ln ⁡ 4 x + 1 2 2 + 3 - 6 91 3 a r c t g 2 x + 1 3 + 11 91 3 a r c t g 2 x + 1 3 + C

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