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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFABC; Funções de Uma Variável; Listas FUV - GRADMAT; Lista 10 - Técnicas de Integração II ; Questão 5d

Calcule a integral por frações parciais:

∫   x 3   +   x   +   1 x 2 - 2 x + 1 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Essa questão tem como objetivo treinar técnicas de integração por partes. Temos que calcular a integral de ∫   x 3   +   x   +   1 x 2 - 2 x + 1 d x

Vamos nessa!!!

Passo 2

Nosso objetivo é calcular ∫   x 3   +   x   +   1 x 2 - 2 x + 1 d x . Como podemos começar? O que vocês acham?

Primeiro, vamos melhorar esse denominador da integral. Temos:

∫   x 3   +   x   +   1 x 2 - 2 x + 1 d x   =   ∫   x 3   +   x   +   1 ( x - 1 ) 2 d x

mas podemos melhorar ainda mais!!!

  ∫   x 3   +   x   +   1 ( x - 1 ) 2 d x =   ∫   x 3   ( x - 1 ) 2 d x +   ∫   x ( x - 1 ) 2 d x +   ∫     1 ( x - 1 ) 2 d x

Conseguimos decompor nossa integral em três integrais mais simples!!!!

Vamos começar calculando   ∫   x ( x - 1 ) 2 d x

Vamos lembrar que podemos reescrever como m x   +   n   ( x - a ) 2   = A x - a   +   B ( x - a ) 2   . Então vamos obter A   e   B   para reescrever nossa integral da seguinte forma:

∫   x ( x - 1 ) 2 d x   =   ∫   A ( x - 1 ) d x   +     ∫   B ( x - 1 ) 2 d x

Passo 3

Queremos que:

x ( x - 1 ) 2 = A ( x - 1 )   + B ( x - 1 ) 2  

então

x ( x - 1 ) 2 = A ( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x - 1 )   + B ( x - 1 ) 2  

desenvolvendo temos

x   =   A x   -   A   +   B

Bem, aqui temos uma igualdade de polinômios em x isso quer dizer que os termos que têm x de um lado precisam ser iguais aos que tem x do outro lado da igualdade. Com isso temos:

A x   =   x ⇒ A   =   1

- A + B   =   0

Ou seja, temos um sistema de equações em A   e   B . Vamos resolver!!!

A   = 1

- A + B   =   0

Substituindo na segunda equação temos:

- 1 + B   =   0

⇒ B   =   1

⇒ A   =   1

Agora que temos A   e   B podemos reescrever nossa integral!!!

Passo 4

Usando os valores de calculados no passo anterior temos:

∫   x ( x - 1 ) 2 d x   =   ∫   A ( x - 1 ) d x   +     ∫   B ( x - 1 ) 2 d x

(substituindo A e B)

= ∫   1 ( x - 1 ) d x + ∫   1 ( x - 1 ) 2 d x

Na nossa integral original fica:

  ∫   x 3   +   x   +   1 ( x - 1 ) 2 d x =   ∫   x 3   ( x - 1 ) 2 d x +   ∫   x ( x - 1 ) 2 d x +   ∫     1 ( x - 1 ) 2 d x

substituindo o resultado do passo anterior

=   ∫   x 3   ( x - 1 ) 2 d x +   ∫   1 ( x - 1 ) d x + ∫   1 ( x - 1 ) 2 d x +   ∫     1 ( x - 1 ) 2 d x

=   ∫   x 3   ( x - 1 ) 2 d x +   ∫   1 ( x - 1 ) d x   + 2 ∫     1 ( x - 1 ) 2 d x  

As duas últimas integrais da direita sabemos calcular!!!! Uma é o famoso ln e a outra é uma polinomial com expoente negativo!!! Então:

  ∫   x 3   ( x - 1 ) 2 d x +   ∫   1 ( x - 1 ) d x   + 2 ∫     1 ( x - 1 ) 2 d x  

=   ∫   x 3   ( x - 1 ) 2 d x +   l n ( x - 1 )   + 2 ( - ( x - 1 ) - 1 )  

Passo 5

Depois de realizarmos algumas simplificações, chegamos a conclusão que

∫   x 3   +   x   +   1 x 2 - 2 x + 1 d x =     ∫   x 3   ( x - 1 ) 2 d x +   l n ( x - 1 )   - 2 ( x - 1 ) - 1  

Agora só precisamos calcular ∫   x 3 ( x - 1 ) 2 d x . Mas como vamos fazer isso? Vamos fazer a divisão polinomial. Assim descobrimos que:

∫   x 3 ( x - 1 ) 2 d x =   ∫ x   +   3 x - 1   + 1 ( x - 1 ) 2 + 2     d x

usando as integrais que calculamos antes

= x 2 2   +   3 l n ( x - 1 ) - ( x - 1 ) - 1   + 2 x

Passo 6

Juntando tudo obtemos:

∫   x 3   +   x   +   1 x 2 - 2 x + 1 d x =   =   ∫   x 3   ( x - 1 ) 2 d x +   l n ( x + 1 )   - 2 ( x - 1 ) - 1  

=   x 2 2   +   3 l n ( x - 1 ) - 2 ( x - 1 ) - 1   + 2 x +   l n ( x + 1 )   - 2 ( x - 1 ) - 1  

=   x 2 2   +   4 l n ( x - 1 ) - 3 ( x - 1 ) - 1   + 2 x   +   k  

Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de Calculo 1, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!

Resposta

  x 2 2   +   4 l n ( x - 1 ) - 3 ( x - 1 ) - 1   + 2 x   +   k

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