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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

  1. Calcule a integral

∫ 1 3 x + 1 2 x + x 2 d x

Passo 1

Para a gente calcular essa integral aí, vamos calculara integral definida primeiro, depois nos preocupamos com os limites de integração, ok?

∫ x + 1 2 x + x 2   d x

Observe que podemos separa essa fração aí em duas partes...

∫ x + 1 2 x + x 2   d x = ∫ x 2 x + x 2 + 1 2 x + x 2   d x

Como a integral da soma é a soma das integrais...

∫ x + 1 2 x + x 2   d x = ∫ x 2 x + x 2   d x + ∫ 1 2 x + x 2   d x

Então resolver essa integral, é resolver essas duas outras integrais mais simples, percebeu?

Passo 2

Vamos começar com a primeira

∫ x 2 x + x 2   d x

Repare que podemos colocar o x em evidência no denominador...

∫ x x 2 + x   d x

Cortando esses dois x

∫ 1 2 + x   d x

Bem, essa integral aí sai por uma substituição simples

2 + x = a

Então

d a = d x

Substituindo tudo...

∫ 1 2 + x   d x = ∫ 1 a   d a =

ln ⁡ a

Voltando com a variável x

∫ 1 2 + x   d x = ln ⁡ 2 + x

A rigor, essa integral tem uma constante, mas como depois vamos calcular uma integral definida, não precisamos por a constante ;)!

Passo 3

Quanto a segunda integral que devemos calcular...

∫ 1 2 x + x 2   d x =

∫ 1 x 2 + x   d x

Note que infelizmente, nessa integral não tem como de cortar o x aí, mas... como temos um produto no denominador, podemos resolver o problema por frações parciais

Então vamos pegar separadamente essa fração

1 x 2 + x

Pela definição de frações parciais, podemos separar isso aí dessa forma

1 x 2 + x = A x + B 2 + x

Bora encontrar essas constantes?

Passo 4

Para encontrar essas constantes podemos fazer o seguinte:

Primeiro tirar o M M C de baixo, e lembre-se de que o M M C de coisas envolvendo o x basta multiplicar as duas coisas, assim

1 x 2 + x = A x + B 2 + x                   →

1 x 2 + x = a l g u m a   c o i s a x 2 + x

Observe que eu coloquei ( a l g u m a   c o i s a ) no nominador, quem será?

Bem, a gente encontra esse nominador como se fosse um problema MMC qualquer, ou seja, pegamos o termo x 2 + x dividimos pelo de baixo e multiplicamos pelo de cima, dessa foram aqui:

1 x 2 + x = A 2 + x + B x x 2 + x

Cortando agora esse denominador que são o mesmo...

A 2 + x + B x = 1   →

2 A + A x + B x = 1

2 A + A + B x = 1

Como não tem x no polinômio do lado de lá, o termo

A + B = 0

logo

A = - B

Como o único termo livre é 2 A , ele deve ser igual a 1

2 A = 1       →               A = 1 2               e                 B = - 1 2

Passo 5

Voltando para a integral...

∫ 1 x 2 + x   d x = ∫ A x + B 2 + x   d x =

∫ A x   d x + ∫ B 2 + x   d x

Como A e B são duas constantes...

∫ 1 x 2 + x   d x = A ∫ 1 x   d x + B ∫ 1 2 + x   d x

Substituindo

∫ 1 x 2 + x   d x = 1 2 ∫ 1 x   d x - 1 2 ∫ 1 2 + x   d x

A primeira integral é direta e a segunda já até calculamos, ou seja

∫ 1 x 2 + x   d x = 1 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 2 + x

Passo 6

Voltando para a integral geral, que era a soma de

∫ x + 1 2 x + x 2   d x = ∫ x 2 x + x 2   d x + ∫ 1 2 x + x 2   d x

Substituindo essas duas integrais que acabamos de calcular em passos anteriores

∫ x + 1 2 x + x 2   d x = ln ⁡ 2 + x + 1 2 ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 2 + x →

∫ x + 1 2 x + x 2   d x = 1 2 ln ⁡ 2 + x + 1 2 ln ⁡ x →

∫ x + 1 2 x + x 2   d x = 1 2 ln ⁡ 2 + x + ln ⁡ x   →

Pela propriedade da soma de logaritmo, podemos

∫ x + 1 2 x + x 2   d x = 1 2 ln ⁡ 2 + x ∙ x =

1 2 ln ⁡ 2 x + x 2

Passo 7

Bem, agora basta substituir os limites de integração...

∫ 1 3 x + 1 2 x + x 2 d x =   1 2 ln ⁡ 2 x + x 2 1 3

Substituindo

∫ 1 3 x + 1 2 x + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 2 ∙ 3 + 3 2 - 1 2 ln ⁡ 2 ∙ 1 + 1 2 →

∫ 1 3 x + 1 2 x + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 15 - 1 2 ln ⁡ 3   →

∫ 1 3 x + 1 2 x + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 15 - ln ⁡ 3

Pela propriedade da subtração de log

∫ 1 3 x + 1 2 x + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ 15 3 = 1 2 ln ⁡ 5

Resposta

1 2 ln ⁡ 5

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