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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Calcule a seguinte integral

∫ 1 x 3 - x d x

Passo 1

Esse é um caso típico de uso de frações parciais. Vamos reescrever a fração da integral assim

1 x 3 - x = 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 )

Agora transformamos em uma soma, desse jeito

1 x ( x - 1 ) ( x + 1 ) = A x + B x - 1 + C x + 1

Passo 2

Precisamos voltar para a forma inicial, com a penas uma fração, agora com os coeficientes A ,   B ,   C .

A x + B x - 1 + C x + 1 = A x 2 - 1 + B x x + 1 + C x ( x - 1 ) x 3 - x

Sabemos que

A x 2 - 1 + B x x + 1 + C x x - 1 x 3 - x = 1 x 3 - x

Então

A x 2 - 1 + B x x + 1 + C x x - 1 = 1

Agora podemos descobrir os valores de A ,   B ,   C .

Para x = 0 temos:

A - 1 = 1 → A = - 1

Para x = 1 :

2 B = 1 → B = 1 2

Para x = - 1 :

2 C = 1 → C = 1 2

Passo 3

Agora podemos transformar a integral em

∫ 1 x 3 - x d x = ∫ A x + B x - 1 + C x + 1 d x = ∫ - 1 x + 1 2 x - 1 + 1 2 x + 1 d x

E resolvendo a integral o resultado obtido é

- ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

- ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x - 1 + 1 2 ln ⁡ x + 1 + C

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