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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Calcule a seguinte integral:

∫ 1 + e 2 x d x

Passo 1

Vou te contar que de cara achei essa integral difícil de resolver... Olhando assim de cara, integrar por partes não rola, frações parciais nem pensar.

Então vamos apelar pro método de integração mais versátil mesmo, a substituição simples!

Vamos fazer uma substituição ousada, pegando o integrando todo:

u = 1 + e 2 x

Ok, mas a derivada disso tem que aparecer né, senão não adianta nada. Relaxa que vamos fazer ela aparecer, saca:

d u = 1 2 1 + e 2 x 1 + e 2 x ' d x

d u = 2 e 2 x 2 1 + e 2 x d x = e 2 x 1 + e 2 x d x = e 2 x u d x

Passo 2

Faltou só escrever o e 2 x como função de u . Repare que:

u 2 = 1 + e 2 x

⇒ e 2 x = u 2 - 1

Ou seja:

d u = u 2 - 1 u d x

⇒ d x = u u 2 - 1 d u

Passo 3

Então a integral vai ficar:

∫ 1 + e 2 x d x = ∫ u .   u u 2 - 1 d u

= ∫ u 2 u 2 - 1 d u

Bem melhor assim, né!

Passo 4

Vamos só dar uma ajeitada nessa integral:

∫ u 2 u 2 - 1 d u = ∫ u 2 - 1 + 1 u 2 - 1 d u

= ∫ 1 + 1 u 2 - 1 d u = u + ∫ 1 u 2 - 1 d u

Passo 5

Show! Agora pra essa nova integral que apareceu podemos usar o método das frações parciais:

1 u 2 - 1 = 1 u + 1 u - 1 = A u + 1 + B u - 1

Botando tudo no mesmo denominador:

1 u 2 - 1 = A u - 1 u + 1 u - 1 + B u + 1 u + 1 u - 1

1 u 2 - 1 = A u - A + B u + B u 2 - 1 = A + B u - A + B u 2 - 1

Igualando os dois lados, obtemos um sistema:

A + B = 0 - A + B = 1

Somando as 2 equações, fica:

2 B = 1 ⇒ B = 1 2

⇒ A = - 1 2

Portanto:

1 u 2 - 1 = - 1 2 u + 1 + 1 2 u - 1

⇒ 1 u 2 - 1 = 1 2 - 1 u + 1 + 1 u - 1

Passo 6

Voltando pra integral:

∫ 1 u 2 - 1 d u = 1 2 ∫ - 1 u + 1 + 1 u - 1 d u

= 1 2 - ln ⁡ u + 1 + ln ⁡ u - 1

Dá pra simplificar isso usando a propriedade do logaritmo ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b , aí fica:

∫ 1 u 2 - 1 d u = 1 2 ln ⁡ u - 1 u + 1

Passo 7

Recapitulando o que fizemos até aqui:

∫ 1 + e 2 x d x = ∫ u 2 u 2 - 1 d u

= u + ∫ 1 u 2 - 1 d u = u + 1 2 ln ⁡ u - 1 u + 1

Agora é só substituir de volta pra x e partir pro abraço!

∫ 1 + e 2 x d x = 1 + e 2 x + 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 x - 1 1 + e 2 x + 1 + C

Podemos tirar o módulo do logaritmo, pois

1 + e 2 x - 1 > 0 1 + e 2 x + 1 > 0

Então a resposta é:

1 + e 2 x + 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 x - 1 1 + e 2 x + 1 + C

Só não pode chegar até aqui e esquecer da constante hein! ;)

Resposta

1 + e 2 x + 1 2 ln ⁡ 1 + e 2 x - 1 1 + e 2 x + 1 + C

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