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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Calcule a seguinte primitiva:

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x

Passo 1

Primeiramente, vamos reescrever essa integral. Temos que:

e 4 x = e 2 x + 2 x = e 2 x ⋅ e 2 x = e 2 x 2

Assim temos:

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x = ∫ e 2 x 1 - e 2 x 2 d x

Agora, podemos fazer a substituição u = e 2 x , como d u = 2 e 2 x d x :

… = 1 2 ∫ d u 1 - u 2

Passo 2

Vamos analisar esse integrando agora, podemos reescrevê-lo e separá-lo usando o método das frações parciais:

1 1 - u 2 = - 1 u 2 - 1

- 1 u + 1 u - 1 = A u + 1 + B u - 1

Fazendo o processo inverso para achar A e B :

- 1 u + 1 u - 1 = A u - 1 + B u + 1 u + 1 u - 1

Distribuindo e juntando termos de mesmo grau:

A u - A + B u + B = - 1

A + B u + B - A = 0 u - 1

Comparando coeficientes, obtemos:

A + B = 0 - A + B = - 1

Resolvendo o sistema, achamos:

A = 1 2

B = - 1 2

Passo 3

Agora substituímos na integral:

1 2 ∫ d u 1 - u 2 = 1 2 ∫ A u + 1 d u + ∫ B u - 1 d u   →

1 2 ∫ d u 1 - u 2 = 1 2 1 2 ∫ 1 u + 1 d u - 1 2 ∫ 1 u - 1 d u   →

1 4 ∫ d u u + 1 - ∫ d u u - 1 = 1 4 ln ⁡ u + 1 - ln ⁡ u - 1 + C =

1 4 ln ⁡ u + 1 u - 1 + C

Retornando a x :

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x = 1 4 ln ⁡ e 2 x + 1 e 2 x - 1 + C

Resposta

∫ e 2 x 1 - e 4 x d x = 1 4 ln ⁡ e 2 x + 1 e 2 x - 1 + C

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