UNICAMP. Cálculo 1. 2022.1 – 5º Noturno. P3. Questão 2a.
Calcule as seguintes integrais:
a)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nessa questão, temos que calcular a integral da função . Analisando a função, vemos que calcular sua integral desse jeito não vai ser uma tarefa tão fácil, porém podemos aplicar um truque nessa fração que vai facilitar e muito nossa vida.
Esse truque consiste em obter as frações parciais da função!
Ta sabendo como podemos fazer isso?
Obter as frações parciais de uma fração é como se a gente dividisse nossa fração em somas de outras frações mais simples. Esse método é muito usado em assuntos mais avançados.
Aplicando as frações parciais na função, consequentemente as integrais que vamos obter são ser mais simples também.
Bora ver como isso funciona? 😉
Passo 2
Calculando as frações parciais da função percebemos que os denominadores já estão separados em produtos, se não estivessem íamos ter que separa-los.
Para cada produto, temos que ter uma constante que ainda não conhecemos, por exemplo
Tirando o MMC do lado direito, temos
Simplificando os dois denominadores
Agora precisamos desenvolver os produtos do lado direito da equação
Colocando , e as constante em evidência, temos
Com isso, por igualdade de polinômios temos o seguinte sistema
Temos que resolver esse sistema, transformando em matriz
Escalonando pela forma escada, que consiste em fazer operações nas linhas da matriz para que a diagonal principal seja formada por e os elementos das suas colunas formados por .
Entendeu? Bora resolver esse escalonamento! 🐱👤
Passo 3
Se multiplicarmos a linha 1 por e somar na linha dois ao mesmo tempo que multiplicarmos a linha por e subtraímos na linha 3, temos
Agora multiplicamos a linha por e subtraímos na linha ao mesmo tempo que multiplicamos a linha por e somamos na linha
Dividindo a linha por e a linha por , temos
Por fim, multiplicando a linha por e subtraindo na linha ao mesmo tempo que multiplicamos a linha por e somamos na linha , vamos obter
Com isso, descobrimos que
Logo nossa fração parcial será
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 4
Dessa forma, podemos escrever nossa integral como
E como a integral de uma soma é igual a soma das integrais, temos
Essa integral é muito parecida com algo que já conhecemos, não é?
Pelo teorema fundamental do cálculo, quando temos uma integral dessa forma, onde e são constantes
Portanto
Substituindo os resultados dessas integrais na soma das integrais, temos
Ficou mais tranquilo simplificando a função inicial por meio de frações parciais?
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
