UNICAMP - (Cálculo 1) - P3 2020.1
Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas.
Passo 1
Fala galera, como vocês estão? Então povo, a primeira integral é bem feia:
Mas relaaaaxa! Porque tem um macete muito boa pra resolver questões com produtos de tangente e secante. E esse macete começa com a gente lembrando qual a derivada de tangente e qual a da secante:
Então se fizéssemos uma substituição do tipo:
Ao derivar, acharíamos:
Opa! Olha só que bacana! Vamos então procurar uma forma de explicitar na integral esse resultado, acompanhado de . Então saca só:
Já deu pra ver que vamos usar uma substituição ! Sendo assim, o que ficou sobrando pode ser eliminado se lembrarmos de usar a seguinte identidade trigonométrica:
Vamos ter:
E aplicando a substituição:
Ficamos com:
Agora é só integrar esse polinômio de , e depois voltar pra variável original! Mas um cuidado enorme que tivemos acima foi separar
Afinal, essa integral não saí da mesma forma que saem as outras, por regra de integração de polinômio! No final das contas, nosso resultado fica assim ó:
Passo 2
Pra segunda integral, temos:
Galera, novamente vai ser muito bom a gente lembrar as derivadas! Afinal, se escolhermos , teremos:
Como isso ajuda a gente? Bem, com essa estratégia, podemos eliminar o de dentro da integral ao usarmos integração por partes! Olha a malandragem:
Seja:
Vamos ter:
E a integral que sobrou do lado direito na verdade é a mesma que fizemos ao transformar em . Sendo assim, como já sabemos seu resultado, temos:
O que resulta, finalmente, em:
Ta na mão! Bora pra última letra!
Passo 3
Pra gente fechar com chave de ouro, bora resolver a última integral:
Humm, divisão de polinômios? Isso tem cara de frações parciais! Podemos reescrever esse cara para:
Onde são constantes que a gente pode descobrir se, nessa igualdade:
Colocarmos tudo no mesmo denominador:
Eliminando o denominador e abrindo os produtos de polinômios, temos:
E aplicando a distributiva, seguido de um agrupamento das constantes, a gente fica com essa cosia fofa aqui:
O que gera o seguinte sistema de equações:
Somando as duas últimas equações, achamos:
E com esse valor, achamos, na primeira, que . Com , achamos na segunda equação:
Show de bola! Vamos ter, por enquanto:
A última integral sai se fizermos uma substituição simples:
Logo:
Voltando pra variável original, temos: