UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 10a
Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Bom, para resolvermos o nosso exercício, primeiro a gente precisa dar uma relembrada em como funciona o método das frações parciais.
A gente sempre vai cogitar usar o método das frações parciais sempre que o grau do polinômio do nosso numerador for menor que o do polinômio do denominador. Vamos conferir:
Reparem que
No caso, o grau do denominador vai ser aquele depois que a gente faz a multiplicação. E ali, nós vamos ter no fim um grau 3. Show, então critério atendido.
Segunda etapa é entender o tipo de polinômio que nós temos no denominador e se temos raízes distintas ou repetidas:
Reparem que nós podemos fatorar:
Logo:
Ou seja, temos aqui 3 polinômios de grau 1(lineares) e ainda 3 raízes distintas (. Show, com isso, podemos começar a calcular.
Passo 2
Show galera, vamos começar:
Vamos fazer os ajustes encontrados no Passo 1:
Show, e pelo método das frações parciais, vamos fazer o ajuste:
Se a gente for calcular o MMC, vamos ter?
Vamos calcular aqui agora rapidinho cada produto dos polinômios para deixar mais arrumadinho:
Logo:
O que faremos agora: Vamos aplicar a distributiva das nossas Constantes:
E agora, para ficar mais organizado, vamos juntar tudo o que tem os fatores dos polinômios:
Show, com isso, nós vamos montar 1 sistema!
Passo 3
Show galera, vamos pegar as informações que coletamos no Passo anterior:
Com isso, vamos ter o seguinte sistema:
Vamos simplificar a segunda linha do nosso sistema, dividindo tudo por 2:
Agora, vamos somar a 1ª com a 3º linha:
Dividindo a primeira por 2:
Somando as duas:
Ok, já achamos o valor de . Com ele, vamos achar os outros. Pegando a segunda linha do nosso último sistema:
Agora só falta o valor de . Para isso, vamos pegar a primeira linha do nosso primeiro sistema:
Perfeito galera, já temos todos os valores das nossas letras. Agora, podemos finalmente substituir na nossa primeira igualdade feita no Passo 2:
Substituindo isso na nossa integral:
Muito maneiro né galera? Agora podemos resolver a nossa integral sem problemas.
Passo 4
Vamos calcular!
De forma simples e rápida, vamos lembrar que:
Então: