Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:

∫ x 2 + 4 x + 1 x 2 - 1 x + 3 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para resolvermos o nosso exercício, primeiro a gente precisa dar uma relembrada em como funciona o método das frações parciais.

A gente sempre vai cogitar usar o método das frações parciais sempre que o grau do polinômio do nosso numerador for menor que o do polinômio do denominador. Vamos conferir:

∫ x 2 + 4 x + 1 x 2 - 1 x + 3 d x

Reparem que

x 2 + 4 x + 1 → g r a u   2

x 2 - 1 x + 3 → g r a u   3

No caso, o grau do denominador vai ser aquele depois que a gente faz a multiplicação. E ali, nós vamos ter no fim um grau 3. Show, então critério atendido.

Segunda etapa é entender o tipo de polinômio que nós temos no denominador e se temos raízes distintas ou repetidas:

x 2 - 1 x + 3

Reparem que nós podemos fatorar:

x 2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 )

Logo:

x 2 - 1 x + 3 = ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

Ou seja, temos aqui 3 polinômios de grau 1(lineares) e ainda 3 raízes distintas ( - 1 ,   + 1 ,   - 3 ) . Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ x 2 + 4 x + 1 x 2 - 1 x + 3 d x

Vamos fazer os ajustes encontrados no Passo 1:

x 2 + 4 x + 1 x 2 - 1 x + 3 = x 2 + 4 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

Show, e pelo método das frações parciais, vamos fazer o ajuste:

x 2 + 4 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) = A x + 1 + B x - 1 + C x + 3

Se a gente for calcular o MMC, vamos ter?

x 2 + 4 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) = A ( x - 1 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) + B ( x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) + C ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

Vamos calcular aqui agora rapidinho cada produto dos polinômios para deixar mais arrumadinho:

x - 1 x + 3 = x 2 + 2 x - 3

x + 1 x + 3 = x 2 + 4 x + 3

x + 1 x - 1 = x 2 - 1

Logo:

A ( x 2 + 2 x - 3 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) + B ( x 2 + 4 x + 3 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) + C ( x 2 - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

O que faremos agora: Vamos aplicar a distributiva das nossas Constantes:

( A x 2 + 2 A x - 3 A ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) + ( B x 2 + 4 B x + 3 B ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) + ( C x 2 - C ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

E agora, para ficar mais organizado, vamos juntar tudo o que tem os fatores dos polinômios:

A + B + C x 2 + 2 A + 4 B x + ( - 3 A + 3 B - C ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

Show, com isso, nós vamos montar 1 sistema!

Passo 3

Show galera, vamos pegar as informações que coletamos no Passo anterior:

x 2 + 4 x + 1 x 2 - 1 x + 3 = A + B + C x 2 + 2 A + 4 B x + ( - 3 A + 3 B - C ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 )

Com isso, vamos ter o seguinte sistema:

A + B + C = 1 2 A + 4 B = 4 - 3 A + 3 B - C = 1

Vamos simplificar a segunda linha do nosso sistema, dividindo tudo por 2:

A + B + C = 1 A + 2 B = 2 - 3 A + 3 B - C = 1

Agora, vamos somar a 1ª com a 3º linha:

- 2 A + 4 B = 2 A + 2 B = 2

Dividindo a primeira por 2:

- A + 2 B = 1 A + 2 B = 2

Somando as duas:

4 B = 3

B = 3 4

Ok, já achamos o valor de B . Com ele, vamos achar os outros. Pegando a segunda linha do nosso último sistema:

A + 2 B = 2

A + 3 2 = 2

A = 1 2

Agora só falta o valor de C . Para isso, vamos pegar a primeira linha do nosso primeiro sistema:

A + B + C = 1

1 2 + 3 4 + C = 1

C = - 1 4

Perfeito galera, já temos todos os valores das nossas letras. Agora, podemos finalmente substituir na nossa primeira igualdade feita no Passo 2:

x 2 + 4 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) = A x + 1 + B x - 1 + C x + 3

x 2 + 4 x + 1 ( x + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 1 2 x + 1 + 3 4 x - 1 - 1 4 x + 3

Substituindo isso na nossa integral:

∫ x 2 + 4 x + 1 x 2 - 1 x + 3 d x = ∫ 1 2 x + 1 + 3 4 x - 1 - 1 4 x + 3 d x

Muito maneiro né galera? Agora podemos resolver a nossa integral sem problemas.

Passo 4

Vamos calcular!

∫ x 2 + 4 x + 1 x 2 - 1 x + 3 d x = ∫ 1 2 x + 1 + 3 4 x - 1 - 1 4 x + 3 d x

De forma simples e rápida, vamos lembrar que:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Então:

∫ 1 2 x + 1 + 3 4 x - 1 - 1 4 x + 3 d x = 1 2 ln ⁡ x + 1 + 3 4 ln ⁡ x - 1 - 1 4 ln ⁡ x + 3 + C

Resposta

1 2 ln ⁡ x + 1 + 3 4 ln ⁡ x - 1 - 1 4 ln ⁡ x + 3 + C

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