Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:

∫ x 3 + 3 x x 2 + 1 2 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para resolvermos o nosso exercício, primeiro a gente precisa dar uma relembrada em como funciona o método das frações parciais.

A gente sempre vai cogitar usar o método das frações parciais sempre que o grau do polinômio do nosso numerador for menor que o do polinômio do denominador. Vamos conferir:

∫ x 3 + 3 x x 2 + 1 2 d x

Reparem que

x ³ → g r a u   3

x 2 + 1 2 → g r a u   4

Segunda etapa é entender o tipo de polinômio que nós temos no denominador e se temos raízes distintas ou repetidas:

x 2 + 1 2

Reparem que nós podemos fatorar:

x 2 + 1 2 = ( x ² + 1 ) ( x 2 + 1 )

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ x 3 + 3 x x 2 + 1 2 d x

Nesse caso, como temos raízes repetidas, vamos fazer o ajuste:

x 3 + 3 x x 2 + 1 2 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 1 2

Se a gente for calcular o MMC, vamos ter?

x 3 + 3 x x 2 + 1 2 = ( A x + B ) x 2 + 1 x 2 + 1 ² + C x + D x 2 + 1 2

Logo:

x 3 + 3 x x 2 + 1 2 = A x 3 + A x + B x 2 + B x 2 + 1 ² + C x + D x 2 + 1 2

E agora, para ficar mais organizado, vamos juntar tudo o que tem os fatores dos polinômios:

x 3 + 3 x x 2 + 1 2 = A x 3 + B x 2 + A + C x + ( B + D ) x 2 + 1 ²

Show, com isso, nós vamos montar 1 sistema!

Passo 3

Show galera, vamos pegar as informações que coletamos no Passo anterior:

x 3 + 3 x x 2 + 1 2 = A x 3 + B x 2 + A + C x + ( B + D ) x 2 + 1 ²

Com isso, vamos ter o seguinte sistema:

A = 1 B = 0 A + C = 3 B + D = 0

Show, já temos pelo nosso sistema os valores de A e B . Vamos calcular os restantes. Pegando a terceira linha do sistema e o valor de A :

A + C = 3

1 + C = 3 → C = 2

Pegando agora a 4ª linha do sistema e o valor de B:

B + D = 0 → D = 0

Perfeito galera, já temos todos os valores das nossas letras. Agora, podemos finalmente substituir na nossa primeira igualdade feita no Passo 2:

x 3 + 3 x x 2 + 1 2 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 1 2

x 3 + 3 x x 2 + 1 2 = x x 2 + 1 + 2 x x 2 + 1 2

Substituindo isso na nossa integral:

∫ x 3 + 3 x x 2 + 1 2 d x = ∫ x x 2 + 1 + 2 x x 2 + 1 2 d x

Muito maneiro né galera? Agora podemos resolver a nossa integral sem problemas.

Passo 4

Vamos calcular!

∫ x 3 + 3 x x 2 + 1 2 d x = ∫ x x 2 + 1 + 2 x x 2 + 1 2 d x

De forma simples e rápida, vamos lembrar que:

∫ 1 u d u = ln ⁡ u

Então:

∫ x x 2 + 1 + 2 x x 2 + 1 2 d x = ∫ x 3 + 3 x x 2 + 1 2 d x

Resposta

ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + 1 2 x 2 + 1 + C

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