UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Profº Sato - Listas de Cálculo 1 - 3ª Lista de Exercícios – Questão 10c
Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.
Bom, para resolvermos o nosso exercício, primeiro a gente precisa dar uma relembrada em como funciona o método das frações parciais.
A gente sempre vai cogitar usar o método das frações parciais sempre que o grau do polinômio do nosso numerador for menor que o do polinômio do denominador. Vamos conferir:
Reparem que
Vish galera, reparem que o grau do numerador é maior que o do denominador. E agora? Bom, vamos ter que reduzir o grau desse polinômio. Vamos começar dividindo o termo de maior grau do numerador pelo termo de maior grau do denominador:
Agora vamos multiplicar pelo denominador:
Agora vamos subtrair do numerador pelo resultado que tivemos acima:
E agora, vamos somar o que achamos na primeira etapa com a da última divido pelo denominador inicial:
Boa, conseguimos reduzir o polinômio do denominar para grau 2. Mas reparem que ele ainda não é menor que o do denominador, então vamos reduzir mais uma vez. Repetindo todas as etapas anteriores:
Agora vamos multiplicar pelo denominador:
Agora vamos subtrair do numerador pelo resultado que tivemos acima:
E agora, vamos somar o que achamos na primeira etapa com a da última divido pelo denominador inicial:
No final de tudo, podemos dizer que:
Boa galera, agora sim vamos começar a resolver a nossa integral por frações parciais.
Segunda etapa é entender o tipo de polinômio que nós temos no denominador e se temos raízes distintas ou repetidas:
Reparem que nós podemos fatorar:
Show, com isso, podemos começar a calcular.
Passo 2
Show galera, vamos começar:
Show, e pelo método das frações parciais, vamos fazer o ajuste:
Se a gente for calcular o MMC, vamos ter?
Logo:
Show, com isso, nós vamos montar 1 sistema!
Passo 3
Show galera, vamos pegar as informações que coletamos no Passo anterior:
Com isso, vamos ter o seguinte sistema:
Show, já temos pelo nosso sistema o valor de . Vamos calcular os restantes:
Perfeito galera, já temos todos os valores das nossas letras. Agora, podemos finalmente substituir na nossa primeira igualdade feita no Passo 2:
Substituindo isso na nossa integral:
Muito maneiro né galera? Agora podemos resolver a nossa integral sem problemas.
Passo 4
Vamos calcular!
De forma simples e rápida, vamos lembrar que:
Então: