Calcule as seguintes integrais, usando o método das frações parciais:

∫ x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 d x

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Bom, para resolvermos o nosso exercício, primeiro a gente precisa dar uma relembrada em como funciona o método das frações parciais.

A gente sempre vai cogitar usar o método das frações parciais sempre que o grau do polinômio do nosso numerador for menor que o do polinômio do denominador. Vamos conferir:

∫ x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 d x

Reparem que

x → g r a u   1

x 2 + 4 x + 5 2 → g r a u   4

Segunda etapa é entender o tipo de polinômio que nós temos no denominador e se temos raízes distintas ou repetidas:

x 2 + 4 x + 5 2

Reparem que nós podemos fatorar:

x 2 + 4 x + 5 2 = x 2 + 4 x + 5 x 2 + 4 x + 5

Show, com isso, podemos começar a calcular.

Passo 2

Show galera, vamos começar:

∫ x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 d x

Show, e pelo método das frações parciais, vamos fazer o ajuste:

x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 = A x + B x 2 + 4 x + 5 + C x + D x 2 + 4 x + 5 2

Se a gente for calcular o MMC, vamos ter?

x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 = ( A x + B ) x 2 + 4 x + 5 x 2 + 4 x + 5 ² + C x + D x 2 + 4 x + 5 2

Logo:

x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 = ( A x 3 + 4 A x 2 + 5 A x + B x 2 + 4 B x + 5 B ) x 2 + 4 x + 5 ² + C x + D x 2 + 4 x + 5 2

E agora, para ficar mais organizado, vamos juntar tudo o que tem os fatores dos polinômios:

x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 = A x 3 + 4 A + B x 2 + 5 A + 4 B + C x + ( 5 B + D ) x 2 + 4 x + 5 ²

Show, com isso, nós vamos montar 1 sistema!

Passo 3

Show galera, vamos pegar as informações que coletamos no Passo anterior:

x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 = A x 3 + 4 A + B x 2 + 5 A + 4 B + C x + ( 5 B + D ) x 2 + 4 x + 5 ²

Com isso, vamos ter o seguinte sistema:

A = 0 4 A + B = 0 5 A + 4 B + C = 1 5 B + D = 0

Show, já temos pelo nosso sistema o valor de A . Vamos calcular os restantes. Pegando a segunda linha do sistema e o valor de A :

4 A + B = 0 → B = 0

Pegando agora a 3ª linha do sistema e os valores de A e B:

5 A + 4 B + C = 1 → C = 1

Pegando agora a 4ª linha do sistema e o valor de B:

5 B + D = 0 → D = 0

Perfeito galera, já temos todos os valores das nossas letras. Agora, podemos finalmente substituir na nossa primeira igualdade feita no Passo 2:

x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 = A x + B x 2 + 4 x + 5 + C x + D x 2 + 4 x + 5 2

x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 = 0 x + 0 x 2 + 4 x + 5 + 1 x + 0 x 2 + 4 x + 5 2

x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 = x x 2 + 4 x + 5 2

Substituindo isso na nossa integral:

∫ x + 1 x 2 + 4 x + 5 2 d x = ∫ x x 2 + 4 x + 5 2 d x

Resposta

1 2 ln ⁡ x 2 + 1 - 1 x 2 + 1 + C

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