USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – N3 – 2021.2 – Questão 1
Determinar a integral
Na resolução desta integral foi obtido valores para os fatores ; ; e e a resposta final foi correspondente a .
Na resolução desta integral foi obtido valores para os fatores ; ; e e a resposta final foi correspondente a .
Na resolução desta integral foi obtido valores para os fatores ; ; e e a resposta final foi correspondente a .
Na resolução desta integral foi obtido os valores para os fatores ; ; e e a resposta final não foi possível determinar.
Passo 1
Eaew, belezinha?
Surpreendentemente esta é uma questão de alternativas! Mas pelo formato da integral com polinômios enormes, e de ordem superior é fácil estar tentado a utilizar frações parciais! Até mesmo o formato das próprias alternativas parece sugerir isso! Vamos então tentar identificar um produto notável no denominador e separar o nosso integrando em frações parciais! Bora lá!
Passo 2
Temos a seguinte integral
O denominador pode ser separado como
Ambos são irredutíveis, portanto, se quisermos separar em frações parciais teremos que escrever da seguinte forma
Note que temos um polinômio de grau com multiplicidade , sendo este o , e ele nos leva aos dois primeiros termos com apenas constantes no numerador, e temos um polinômio de grau com multiplicidade , que resulta no termo com um polinômio de grau no numerador. Isso vai nos resultar em um sistema de equações lineares! Vamos ver como!
Passo 3
Vamos multiplicar os dois lados por (Ou fazer MMC, você que sabe), temos
Vamos expandir os produtos e colocar , e em evidência para obter o seguinte
O sistema de equações surge quando notamos que para que a igualdade acima se mantenha, os coeficientes de , e de ambos os lados da equação devem ser iguais, assim como os termos constantes. Portanto, temos que
Vamos resolver este sistema!
Passo 4
Este sistema é bem direto, saca só! Temos que da quarta relação, temos também que , e como , temos que . Da segunda equação temos que , e portanto, . Estes são os meus fatores! Isso já é o suficiente para dizer que todas as alternativas acima são falsas! Mas vamos seguir com a resolução da integral. Temos que a nossa fração toma a forma
E, o integrando fica então
Na primeira integral não tem muito o que fazer, então vamos deixar essa por último! A segunda integral podemos ainda reescrever umas coisinhas! Saca só!
Passo 5
Vamos pegar a segunda integral
Temos que , portanto, podemos simplificar o integrando
Se escrevermos , e se somarmos e subtrairmos , temos
Isso reduz essa relação a
Ou seja, este integrando toma a forma
Vamos jogar isso tudo na equação (1).
Passo 6
Temos substituindo a equação (2) na equação (1) que
Vamos juntar algumas integrais iguais, só para dar uma simplificada, temos
As três primeiras integrais são identificáveis em termos de primitivas! Mas ainda precisamos dar uma mexida na última! Vem comigo!
Passo 7
Vamos fazer o seguinte, aplique a substituição , de forma que , temos
Com isso, todas nossas integrais são determinadas em termos de primitivas! Saca só!
Passo 8
Precisamos utilizar as seguintes fórmulas
De forma que temos
Usando que , temos
Note que avaliar os limites nos levará a uma indeterminação, portanto, o valor da integral não pode ser determinado! A questão é isso, te vejo na próxima! Tchauzinho