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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

Se

A = ∫ 2 3 4 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 d x + ∫ 2 3 2 x 2 d x

então

  1. A = ln ⁡ 27 2
  2. A = ln ⁡ 3 16
  3. A = ln ⁡ 16 3
  4. A = ln ⁡ 12
  5. A = ln ⁡ 18

Passo 1

Vamos começar calculando a primeira integral :

∫ 2 3 4 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 d x

Mas só vamos dar uma arrumada nesse integrando antes:

4 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 = 4 x 2 x 2 x - 1 - 3 x x 2 x - 1 + 2 x 2 x - 1

= 4 x - 1 - 3 x x - 1 + 2 x 2 x - 1

Portanto :

∫ 2 3 4 x 2 - 3 x + 2 x 2 x - 1 d x = ∫ 2 3 4 x - 1 d x + ∫ 2 3 - 3 x x - 1 d x + ∫ 2 3 2 x 2 x - 1 d x

Passo 2

Vamos calcular separado essas 3 novas integrais que apareceram. Começando pela primeira:

∫ 2 3 4 x - 1 d x = 4 ln ⁡ x - 1 2 3 = 4 ln ⁡ 2 - 4 ln ⁡ 1 = 4 ln ⁡ 2

Passo 3

Vamos pra segunda:

∫ 2 3 - 3 x x - 1 d x

Nessa vamos ter que usar frações parciais:

- 3 x x - 1 = A x + B x - 1

Botando tudo no mesmo denominador:

A x - 1 + B x x x - 1 = A x - A + B x x x - 1 = A + B x - A x x - 1

Igualando:

- 3 x x - 1 = A + B x - A x x - 1

Temos que

A + B = 0 - A = - 3 → A = 3 → B = - 3

Ou seja:

∫ 2 3 - 3 x x - 1 d x = ∫ 2 3 3 x - 3 x - 1 d x

= 3 ln ⁡ x - 3 ln ⁡ x - 1 2 3 = 3 ln ⁡ 3 - 3 ln ⁡ 2 - 3 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 1

= 3 ln ⁡ 3 - 6 ln ⁡ 2

Passo 4

Agora a terceira integral :

∫ 2 3 2 x 2 x - 1 d x = 2 ∫ 2 3 1 x 2 x - 1 d x

Também precisaremos de frações parciais, mas agora dessa forma:

1 x 2 x - 1 = A x + B x 2 + C x - 1

= A x + B x - 1 + C x 2 x 2 x - 1 = A x 2 - A x + B x - B + C x 2 x 2 x - 1 = A + C x 2 + B - A x - B x 2 x - 1

Daí caímos no sistema:

A + C = 0 B - A = 0 - B = 1

Da terceira equação tiramos B = - 1 . Substituindo na segunda, obtemos também A = - 1 . Por fim, com a primeira equação achamos C = 1 .

Ou seja:

2 ∫ 2 3 1 x 2 x - 1 d x = 2 ∫ 2 3 - x - 1 x 2 + 1 x - 1 d x

= 2 ∫ 2 3 - 1 x - 1 x 2 + 1 x - 1 d x = 2 - ln ⁡ x + 1 x + ln ⁡ x - 1 2 3

= 2 - ln ⁡ 3 + 1 3 + ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2 - 1 2 - ln ⁡ 1

= - 2 ln ⁡ 3 + 2 3 + 4 ln ⁡ 2 - 1

= - 2 ln ⁡ 3 + 4 ln ⁡ 2 - 1 3

Passo 5

Maasss ainda não acabou porque tem aquela outra integral na definição de A :

∫ 2 3 2 x 2 d x

Pelo menos ela é tranquila:

∫ 2 3 2 x 2 d x = - 2 x 2 3 = - 2 3 + 1 = 1 3

Passo 6

Juntando tudo (cuidado pra não se perder nesse monte de integral!):

A = 4 ln ⁡ 2 + 3 ln ⁡ 3 - 6 ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ 3 + 4 ln ⁡ 2 - 1 3 + 1 3

→ A = 2 ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3

Pelas propriedades do logaritmo:

A = ln ⁡ 2 2 + ln ⁡ 3 = ln ⁡ 4 + ln ⁡ 3 = ln ⁡ 4.3 = ln ⁡ 12

Pronto, agora simplificamos ao máximo a resposta :)

Resposta

Letra (d)

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