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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes

6. Frações parciais

d) ∫ x 2 + x - 4 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 ) d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ x 2 + x - 4 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 ) d x .

Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.

Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.

Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.

Passo 2

Temos uma multiplicação na parte de baixo e o grau do numerado é menor que o grau do denominador, então podemos usar frações parciais.

Separando das frações parciais:

x 2 + x - 4 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 ) = A 2 x + 1 + B x + C x 2 + 4

Fazendo o mmc:

= A x 2 + 4 + B x + C 2 x + 1 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 )

= A x 2 + 4 A + 2 B x 2 + B x + 2 C x + C ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 )

= A + 2 B x 2 + B + 2 C x + 4 A + C ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 )

Passo 3

Igualando os dois lados:

x 2 + x - 4 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 ) = A + 2 B x 2 + B + 2 C x + 4 A + C ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 )

Então ficamos com o sistema:

A + 2 B = 1 B + 2 C = 1 4 A + C = - 4

Resolvendo o sistema:

A = - 1

B = 1

C = 0

Agora sim achamos nossas frações parciais:

x 2 + x - 4 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 ) = - 1 2 x + 1 + x x 2 + 4

Passo 4

Voltando pra integral, ficamos com:

∫ x 2 + x - 4 ( 2 x + 1 ) ( x 2 + 4 ) d x = ∫ - 1 2 x + 1 + x x 2 + 4 d x

= - ∫ 1 2 x + 1 d x + ∫ x x 2 + 4 d x

Resolvendo (elas saem por substituição simples):

= - 1 2 ln ⁡ 2 x + 1 + 1 2 ln ⁡ x 2 + 4

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= - 1 2 ln ⁡ 2 x + 1 + 1 2 ln ⁡ x 2 + 4 + C

Resposta

- 1 2 ln ⁡ 2 x + 1 + 1 2 ln ⁡ x 2 + 4 + C

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