6. Frações parciais

h) ∫ 6 x x + 1 x - 5 d x

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 6 x x + 1 x - 5 d x .

Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.

Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.

Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.

Passo 2

Temos uma multiplicação na parte de baixo e o grau do numerado é menor que o grau do denominador, então podemos usar frações parciais.

Separando das frações parciais:

6 x x + 1 x - 5 = A x + 1 + B x - 5

Fazendo o mmc:

= A x - 5 + B x + 1 x + 1 x - 5

= A x - 5 A + B x + B x + 1 x - 5

= A + B x - 5 A + B x + 1 x - 5

Passo 3

Igualando os dois lados:

6 x x + 1 x - 5 = A + B x - 5 A + B x + 1 x - 5

Então ficamos com o sistema:

A + B = 6 - 5 A + B = 0

Resolvendo o sistema:

A = 1

B = 5

Agora sim achamos nossas frações parciais:

6 x x + 1 x - 5 = 1 x + 1 + 5 x - 5

Passo 4

Voltando pra integral, ficamos com:

∫ 6 x x + 1 x - 5 d x = ∫ 1 x + 1 + 5 x - 5 d x

= ∫ 1 x + 1 d x + ∫ 5 x - 5 d x

Resolvendo:

= ln ⁡ x + 1 + 5 ln ⁡ x - 5

Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:

= ln ⁡ x + 1 + 5 ln ⁡ x - 5 + C

Resposta

ln ⁡ x + 1 + 5 ln ⁡ x - 5 + C

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