Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

Ver Teoria
Exercício 146123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes

6. Frações parciais

a) ∫ 1 z 2 + 2 z d z

Passo 1

Falaaa... beleza??

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ 1 z 2 + 2 z d z .

OBS.: essa questão está na seção frações parciais, maaas acredito que seja pra ser resolvida por substituição simples, seguida de substituição inversa...

Como não é uma integral que conseguimos resolver diretamente, precisaremos de alguém método.

Um bizu maneiro é que quando tiver, dentro da integral, x 2 + a 2 , x 2 - a 2 ou a 2 - x 2 (sendo a um número e x a variável), usamos substituição inversa, também conhecida como substituição trigonométrica.

Quando x 2 + a 2 , usamos x = a tan ⁡ θ .

Quando x 2 - a 2 , usamos x = a sec ⁡ θ .

Quando   a 2 - x 2 , usamos x = a sen ⁡ θ   ou x = a cos ⁡ θ .

Bora pra questão.

Passo 2

Vamos dar uma arrumada nessa integral completando quadrados embaixo:

∫ 1 z 2 + 2 z d z = ∫ 1 z 2 + 2 z + 1 - 1 d z

= ∫ 1 z + 1 2 - 1 d z

Como temos uma função composta... vamos usar substituição simples:

u = z + 1 → d u = d z

∫ 1 z + 1 2 - 1 d z = ∫ 1 u 2 - 1 d u

Passo 3

Agora sim aplicamos substituição inversa:

u = sec ⁡ θ

d u = tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Então:

∫ 1 u 2 - 1 d u = ∫ 1 sec ⁡ θ 2 - 1 tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

Como sec 2 ⁡ θ - 1 = tan 2 ⁡ θ :

= ∫ 1 tan 2 ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ 1 tan ⁡ θ tan ⁡ θ sec ⁡ θ d θ

= ∫ sec ⁡ θ d θ

Resolvendo a integral, lembrando que a integral de secante é ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

= ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ

Passo 4

Voltando pra u , temos:

u = sec ⁡ θ

Pra achar a tangente, usamos a relação tan 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ - 1 :

tan 2 ⁡ θ = u 2 - 1

tan ⁡ θ = u 2 - 1

Então:

ln ⁡ sec ⁡ θ + tan ⁡ θ = ln ⁡ u + u 2 + 1

Agora voltando pra z , temos:

u = z + 1

Então:

ln ⁡ u + 1 - u 2 = ln ⁡ z + 1 + z + 1 2 - 1

= ln ⁡ z 2 + 2 z + z + 1  

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= ln ⁡ z 2 + 2 z + z + 1   + C

Resposta

ln ⁡ z 2 + 2 z + z + 1 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ 8 x 2 + 8 x + 2 4 x 2 + 1 2d x
Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais ∫ y 2 + 2 y + 1 y 2 + 1 2d y
Calcule.int (4)/(x^3 - x^2 - 2 x) d x
Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral. ∫ s e n ( x ) cos 2 ⁡ x - 3 cos ⁡ x d x
Calcule a integralint (1)/((x - 2) (x^2 + 4)) d x