UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 6.1
Frações parciais mais complicadas, comprimento de arco e volume
Encontre a decomposição em frações parciais da integral
Passo 1
Falaii galerinha, bora lá
Para encontrar a decomposição em frações parciais da integral , primeiro precisamos fatorar o denominador em fatores irreduzíveis e, em seguida, encontrar as frações parciais correspondentes.
Vamos fatorar o denominador primeiro:
Para simplificar o processo de decomposição em frações parciais, podemos usar o fato de que é uma raiz tripla e que é irreduzível sobre os números reais. Portanto, podemos começar decompondo o denominador da seguinte maneira:
Agora, vamos encontrar os valores de
Passo 2
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de resolvendo essa equação para
Para encontrar multiplicamos ambos os lados por
e avaliamos em pois isso eliminará todos os outros termos:
Passo 3
Agora, para encontrar multiplicamos ambos os lados por e avaliamos em
Para encontrar multiplicamos ambos os lados por e avaliamos em
Para encontrar multiplicamos ambos os lados por e depois expandimos e agrupamos os termos relevantes:
Agora, podemos simplificar:
Passo 4
Avaliamos isso em
Agora, para encontrar multiplicamos ambos os lados por e depois expandimos e agrupamos os termos relevantes:
Simplificamos:
Passo 5
Avaliamos isso em
Finalmente, para encontrar multiplicamos ambos os lados por e depois expandimos e agrupamos os termos relevantes:
Passo 6
Simplificamos:
Avaliamos isso em
Passo 7
Agora, temos os valores de todos os coeficientes e .
Portanto, a decomposição em frações parciais da integral original é:
Essa é a decomposição em frações parciais da integral fornecida.
Resposta
Vide a explicação.