UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes
6. Frações parciais
e) Obtenha uma primitiva para a função racional , onde , e satisfaz .
Passo 1
Falaaa... beleza??
Nessa questão vamos achar uma primitiva para a função racional , onde , e satisfaz .
Pra isso calculamos e depois achamos a constante da integral indefinida usando .
Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.
Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.
Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.
Passo 2
Temos uma multiplicação na parte de baixo e o grau do numerado é menor que o grau do denominador, então podemos usar frações parciais.
Separando das frações parciais:
Fazendo o mmc:
Passo 3
Igualando os dois lados:
Então ficamos com o sistema:
Resolvendo o sistema:
Agora sim achamos nossas frações parciais:
Passo 4
Voltando pra integral, ficamos com:
Resolvendo (todas saem por substituição simples):
Como é uma integral indefinida, adicionamos uma constante no final:
Passo 5
Como foi dada uma condição, que é , então podemos achar essa constante:
Então: