UFPE – Cálculo 1 – Lista 7 – Professor Matheus Nunes
6. Frações parciais
f)
Passo 1
Falaaa... beleza??
Nessa questão vamos calcular a integral
Quando temos uma integral que é uma fração e a parte de baixo pode ser representada por uma multiplicação de dois ou mais polinômios, então podemos usar o método das frações parciais.
Esse método consiste em a gente separar em frações que o denominador de cada fração será cada um desses polinômios do denominador.
Ahhhh... o grau do numerador precisa ser menor que o grau do denominador.
Passo 2
Dessa vez não temos tão evidente assim os polinômios na parte de baixo, maaas quando temos alguma função trigonométrica na parte de baixo da fração, usamos a substituição:
E fazemos a mágica de aparecer esse .
Como temos , podemos usar a relação de :
Mas , então:
Passo 3
Substituindo na integral:
Usando a substituição:
Derivando:
Usando a igualdade
Então:
Arrumando, ficamos com:
Passo 4
Temos uma multiplicação na parte de baixo e o grau do numerado é menor que o grau do denominador, então podemos usar frações parciais.
Separando nas frações parciais:
Fazendo o mmc:
Agrupando os semelhantes:
Siiiim... a gente separa pra depois juntar de novo... louco, né? Depois separamos de vez hahaha
Passo 5
Igualando os dois lados:
Temos uma igualdade e tudo que está na frente de de um lado deve ser igual a o que está na frente de . A mesma coisa pro pro e também pro que não tem .
Então ficamos com o sistema:
Resolvendo o sistema:
Agora sim achamos nossas frações parciais:
Passo 6
Voltando pra integral, ficamos com:
Resolvendo:
Substituindo
Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final: