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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 6.2

A integral ∫ d x 2 - 3 cos ⁡ x é equivalente a uma certa integral de uma fração racional. Qual é esta integral?

Passo 1

Oieee, bora lá?

Para resolver a integral

∫ d x 2 - 3 cos ⁡ x

Podemos usar uma técnica conhecida como substituição trigonométrica. Vamos fazer a substituição:

u   =   t a n ( x / 2 )

Primeiro, vamos encontrar as derivadas necessárias:

d u   =   ( 1 / 2 ) s e c ² ( x / 2 )   d x

Agora, podemos reescrever o denominador em termos de u usando as identidades trigonométricas:

c o s ( x )   =   ( 1   -   t a n ² ( x / 2 ) )   /   ( 1   +   t a n ² ( x / 2 ) )   =   ( 1   -   u ² )   /   ( 1   +   u ² )

d x   =   ( 2 s e c ² ( x / 2 ) )   d u   =   2 ( 1   +   u ² )   d u

Agora, substituímos essas expressões na integral original:

∫ d x   /   ( 2   -   3 c o s ( x ) )   =   ∫ ( 2 ( 1   +   u ² )   d u )   /   ( 2   -   3 ( 1   -   u ² )   /   ( 1   +   u ² ) )

Passo 2

Agora, simplificamos o denominador:

∫ ( 2 ( 1   +   u ² )   d u )   /   ( ( 2 ( 1   +   u ² ) )   -   ( 3 ( 1   -   u ² ) ) )

Isso fica:

∫ ( 2 ( 1   +   u ² )   d u )   /   ( 2   +   2 u ²   -   3   +   3 u ² )

Simplificando ainda mais:

∫ ( 2 ( 1   +   u ² )   d u )   /   ( 5 u ²   -   1 )

Agora, podemos dividir o numerador e o denominador por 2 para simplificar ainda mais:

( 1 / 2 )   ∫ ( 1   +   u ² )   d u   /   ( 5 u ²   -   1 )

Agora, podemos dividir o numerador em duas integrais separadas:

( 1 / 2 )   ∫ ( 1 /   ( 5 u ²   -   1 )   +   u ²   /   ( 5 u ²   -   1 ) )   d u

Passo 3

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

A primeira integral é uma integral trigonométrica padrão, que pode ser resolvida usando uma substituição simples:

∫ ( 1 /   ( 5 u ²   -   1 ) )   d u   =   ( 1 / 5 ) a r c t a n ( 5 u )

A segunda integral é direta:

∫ ( u ²   /   ( 5 u ²   -   1 ) )   d u   =   ( 1 / 5 ) ∫ ( 1   -   1 / ( 5 u ²   -   1 ) )   d u

Agora, podemos resolver a segunda integral usando uma substituição:

  v   =   5 u 2 -   1 ,   e n t ã o   d v   =   ( 5 u / 5 u 2 -   1 )   d u

A integral se torna:

( 1 / 5 ) ∫ ( 1   -   1 / v ² )   d v

Agora, podemos resolver isso diretamente:

( 1 / 5 ) ( v   +   1 / v )   d v   =   ( 1 / 5 ) ( 5 u 2 -   1   +   1 / 5 u 2 -   1 )   d u

Passo 4

Agora, voltamos à variável original u:

( 1 / 5 ) ( 5 u 2 -   1   +   1 / 5 u 2 -   1 )   d u

Agora, podemos somar as duas integrais:

( 1 / 2 ) ( 1 / 5 ) a r c t a n ( 5 u )   +   ( 1 / 5 ) ( 5 u 2 -   1   +   1 / 5 u 2 -   1 )   +   C

Finalmente, revertendo a substituição u   =   t a n ( x / 2 ) e simplificando:

( 1 / 2 ) ( 1 / 5 ) a r c t a n ( 5 u )   +   ( 1 / 5 ) ( 5 u 2 -   1   +   1 / 5 u 2 -   1 )   +   C

Aqui, C é a constante de integração. Esta é a solução da integral original.

Resposta

( 1 / 2 ) ( 1 / 5 ) a r c t a n ( 5 u )   +   ( 1 / 5 ) ( 5 u 2 -   1   +   1 / 5 u 2 -   1 )   +   C

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