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Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

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Enunciado

UNICAMP – Cálculo 1 – Professor Ricardo Martins – Lista de Integrais

10.6

b) A integral

∫ x + 2 x 2 + 2 x + 5 d x

Resulta numa expressão da forma

k ln ⁡ x 2 + 2 x + 5 + p arctan ⁡ x + r s + c

Onde c   é a constante de integração. Determine os valores de k , p , r , s .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão foi dada uma integral e o resultado dela, maaas no resultado tem várias letras nos lugares dos números. Precisamos achar o valor essas letras.

Podemos derivar a resposta pra chegar na expressão da integral. A derivada da resposta de uma integral tem que dar a expressão que integramos, né?

Passo 2

Derivando a resposta (não esquecendo de usar a regra da cadeia):

x + 2 x 2 + 2 x + 5 = k ln ⁡ x 2 + 2 x + 5 + p arctan ⁡ x + r s + c '

= k x 2 + 2 x + 5 2 x + 2 + p 1 1 + x + r s 2 1 s

= k 2 x + 2 x 2 + 2 x + 5 + p s 1 1 + x 2 + 2 x r + r 2 s 2

= k 2 x + 2 x 2 + 2 x + 5 + p s x 2 + 2 x r + r 2 + s 2

Passo 3

A primeira fra��ão já tem o denominador igual, então os denominadores das duas frações da resposta devem ser iguais:

x 2 + 2 x + 5 = x 2 + 2 x r + r 2 + s 2

Daí tiramos que:

2 x = 2 x r → r = 1

5 = r 2 + s 2

5 = 1 + s 2 → s = ± 2

Passo 4

Agora que fizemos os denominadores serem iguais, ficamos com:

x + 2 x 2 + 2 x + 5 = 2 k x + 2 k + p s x 2 + 2 x + 5

Daí tiramos que:

x = 2 k x → k = 1 2

2 = 2 k + p s

2 = 2 1 2 + p s

2 = 1 + p s

1 = p s

Se s = 2 :

1 = 2 p → p = 1 2

Se s = - 2 :

1 = - 2 p → p = - 1 2

Ficamos com duas combinações de números:

r = 1 ; s = 2 ; k = 1 2 ; p = 1 2

Ou

r = 1 ; s = - 2 ; k = 1 2 ; p = - 1 2

Resposta

r = 1 ; s = 2 ; k = 1 2 ; p = 1 2

Ou

r = 1 ; s = - 2 ; k = 1 2 ; p = - 1 2

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