P3 – Cálculo 1 – Unicamp – 2022.2 – Questão 3
Questão 3
Calcule a integral
Passo 1
Bom galera, questão de integral... vem comigo que a gente mata essa juntos!
Nessa integral, temos uma fração composta por dois polinômios. Portanto, temos aí um bom indicativo de que iremos resolve-la por frações parciais!
Repare que o denominador dessa fração está dado como:
O primeiro passo é colocar o que der em evidência e reescrever esse denominador. Vamos colocar o em evidência:
Dessa forma, nós temos um termo de primeiro grau que se repete , portanto teremos: e um termo de primeiro grau que é onde teremos: , de forma que ficamos com:
Passo 2
Para encontrar as constantes e , vamos resolver o MMC do lado direito da equação.
E igualamos isso ao que tínhamos no lado esquerdo da equação:
Portanto, temos que:
De forma que:
O macete aqui é organizar todo mundo do lado direito, juntando quem está com , quem está com e quem está sozinho.
Para que essa igualdade seja satisfeita é necessário que:
Passo 3
Olhando para o sistema que montamos, vemos de cara que:
Substituindo isso na segunda equação do sistema, temos:
E por fim, substituindo na primeiro equação do sistema, temos:
Assim, nossa integral fica sendo:
Passo 4
Podemos abrir a soma dentro da integral em uma soma de integrais, e também podemos tirar as constantes do interior da integral.
Aqui podemos usar as seguintes relações:
Portanto, teremos: