UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 7.2
Resolva até onde conseguir a integral (Pelo menos transforme-a numa integral de uma função racional e use a decomposição em frações parciais.)
Passo 1
Para resolver a integral usando a decomposição em frações parciais, primeiro precisamos encontrar a decomposição em frações parciais da função integranda.
Começamos por fatorar o denominador:
Agora, usaremos uma técnica chamada "adição e subtração de uma quantidade conveniente" para simplificar a função e encontrar a decomposição em frações parciais. Adicionamos e subtraímos
Agora, podemos separar essa fração em duas partes:
Agora, temos duas frações que podemos decompor em frações parciais:
Passo 2
Vamos resolver essas duas integrais separadamente.
Integral da primeira fração:
Para a primeira fração, podemos usar a substituição trigonométrica:
Substituição:
Isso nos leva a:
Passo 3
E também:
Agora, substituímos essas expressões na primeira integral:
Agora, simplificamos essa expressão:
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Passo 4
Agora, podemos decompor essa fração em frações parciais. Primeiro, dividimos pelo denominador
Agora, cancelamos os termos:
Agora, podemos encontrar os valores de A e B. Vamos simplificar essa equação:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 5
Agora, resolvemos esse sistema de equações. Primeiro, multiplicamos a segunda equação por
Agora, somamos essa equação à primeira:
Agora, podemos resolver para A e B:
Agora, substituímos esses valores na integral:
Passo 6
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
A integral de , então podemos simplificar ainda mais:
Agora, podemos substituir os valores de A e B que encontramos anteriormente:
Passo 7
Substituindo esses valores:
Agora, simplificamos:
Agora, somamos os termos:
Passo 8
Agora, substituímos o valor de A:
Passo 9
Agora, podemos encontrar o valor da integral:
Para simplificar ainda mais, podemos encontrar um denominador comum: